关于满足|f’(z)-1|<1/4的全纯函数在非凸区域Ω上单射性的问询

设$f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$为全纯函数，其中域$\Omega$定义为：
$$\Omega:={z\in\mathbb{C}; -1<\operatorname{Re}(z)<|\operatorname{Im}(z)|}$$
（注：$\Omega$是开集、连通集，但非凸集）

已知条件：$|f'(z)-1|<1/4$，需证明：$f$在$\Omega$上是单射的。

附言 #

• 1）显然$f$是局部单射的，因为对任意$z\in\Omega$，$f'(z)\neq 0$（利用已知条件$|f'(z)-1|<1/4$，由三角不等式可得$|f'(z)| = |1 + (f'(z)-1)| \geq |1| - |f'(z)-1| > 1 - 1/4 = 3/4 > 0$），但如何保证$f$在整个$\Omega$上是单射的？
• 2）若$\Omega$是凸集，则结论显然成立：事实上，假设存在$a\neq b$使得$f(a)=f(b)$，考虑连接$a$和$b$的线段$\gamma(t)=a+t(b-a), t\in[0,1]$，则有：

  $$0 = f(b)-f(a) = \int_\gamma f'(z)dz = \int_0^1 f'(a+t(b-a))(b-a)dt$$
  两边除以$b-a$得：
  $$\int_0^1 f'(a+t(b-a))dt = 0$$
  但根据已知条件$|f'(z)-1|<1/4$，可得：
  $$\left|\int_0^1 f'(a+t(b-a))dt - 1\right| = \left|\int_0^1 (f'(a+t(b-a))-1)dt\right| \leq \int_0^1 |f'(a+t(b-a))-1|dt < \int_0^1 1/4 dt = 1/4$$
  这意味着$\left|\int_0^1 f'(a+t(b-a))dt\right| > 1 - 1/4 = 3/4 > 0$，矛盾，故凸域下单射性成立。但$\Omega$是非凸的，该怎么处理？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Galois Braza