如何求解含2×2矩阵的方程组？（非借助矩阵解常规方程组）

没问题，我来帮你一步步拆解并求解这个方程组。首先明确：这里的变量 (u) 和 (v) 都是2维列向量（比如 (u = \begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \end{bmatrix})，(v = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \end{bmatrix})），我们可以把矩阵乘法展开成普通的线性方程组，再用消元法求解。

步骤1：展开矩阵方程 #

先把两个矩阵方程分别展开：

第一个方程展开 #

[
\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2\end{bmatrix} u + \begin{bmatrix}3 & -3 \ -1 & -1 \end{bmatrix} v = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \end{bmatrix}
]
展开后得到2个线性方程：

• (u_1 + 3v_1 - 3v_2 = 1) （方程1）
• (2u_2 - v_1 - v_2 = 4) （方程2）

第二个方程展开 #

[
\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix} u + \begin{bmatrix} 1 & 0 \1 & -1\end{bmatrix} v= \begin{bmatrix} 0 \ -2 \end{bmatrix}
]
展开后得到另外2个线性方程：

• (u_1 + v_1 = 0) （方程3）
• (u_1 + u_2 + v_1 - v_2 = -2) （方程4）

步骤2：消元求解变量 #

现在我们有4个方程、4个变量（(u_1, u_2, v_1, v_2)），可以通过代入消元逐步求解：

1. 从方程3直接得到：(u_1 = -v_1)
2. 将 (u_1 = -v_1) 代入方程1：
   [
   -v_1 + 3v_1 - 3v_2 = 1 \implies 2v_1 - 3v_2 = 1 \quad \text{（方程1'）}
   ]
3. 将 (u_1 = -v_1) 代入方程4：
   [
   -v_1 + u_2 + v_1 - v_2 = -2 \implies u_2 - v_2 = -2 \implies u_2 = v_2 - 2 \quad \text{（方程4'）}
   ]
4. 将 (u_2 = v_2 - 2) 代入方程2：
   [
   2(v_2 - 2) - v_1 - v_2 = 4 \implies v_2 - v_1 = 8 \implies v_1 = v_2 - 8 \quad \text{（方程2'）}
   ]
5. 将 (v_1 = v_2 - 8) 代入方程1'：
   [
   2(v_2 - 8) - 3v_2 = 1 \implies -v_2 - 16 = 1 \implies v_2 = -17
   ]
6. 回代求其他变量：
   • (v_1 = -17 - 8 = -25)
   • (u_1 = -v_1 = 25)
   • (u_2 = -17 - 2 = -19)

步骤3：验证结果 #

把求得的向量代入原矩阵方程验证：

• 第一个方程左边：
  [
  \begin{bmatrix}1&0\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}25\-19\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3&-3\-1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-25\-17\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}25\-38\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-24\42\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\4\end{bmatrix}
  ]
  与右边一致。
• 第二个方程左边：
  [
  \begin{bmatrix}1&0\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}25\-19\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1&0\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-25\-17\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}25\6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-25\-8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\-2\end{bmatrix}
  ]
  也与右边一致。

最终解为：
[
u = \begin{bmatrix}25\-19\end{bmatrix}, \quad v = \begin{bmatrix}-25\-17\end{bmatrix}
]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mrnobody