咨询：求证含复数w=x+iy与1/(ar{w})的圆与|z|=1正交的方法

嘿，这个复分析的小问题可以从几何和代数两个角度拆解，给你几个推进思路的方向：

• 先抓两圆正交的核心判定条件：两个圆正交，等价于它们圆心连线的平方等于两圆半径的平方和。先把单位圆的参数记清楚：圆心是原点(0,0)，半径1。接下来只需要找到过(w)和(1/\overline{w})的圆的圆心(a)和半径(r)，验证|a|² = r² + 1就行。
• 写出过两点的圆的代数方程：复数圆的标准形式是|z - a| = r，代入两个点可得|w - a| = r和|1/\overline{w} - a| = r。把这两个等式两边平方（利用|z|² = z\overline{z}展开），消去(r²)后应该能得到圆心(a)满足的关系式，再代入判定条件里验证。
• 试试几何性质反推：注意(w)和(1/\overline{w})是关于单位圆的对称点（反演点）。根据反演的基本性质，过一对反演点的圆必然和反演圆（也就是单位圆）正交。如果能回忆起反演对称点的定义（点到圆心的距离乘积等于半径平方），这个思路会更直观。
• 从切线垂直的定义出发：假设两圆交于点(z)，那么单位圆在(z)处的切线方向和半径(z)垂直，而过(w)、(1/\overline{w})、(z)的圆在(z)处的切线，需要证明它和(z)平行（因为这样就和单位圆切线垂直了）。可以用复数的导数或者向量垂直的条件来推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dan1997