有限群所有极大子群均共轭则为循环？证明中拉格朗日定理应用的困惑

设$G$为有限群。假设$G$的所有极大子群均共轭，则$G$是循环群。

我之前对着这个群论问题完全陷入了困惑，后来好不容易找到一个Jack给出的解答，但里面有个关键细节一直让我犯迷糊：Jack提到“一个极大子群的共轭类实际上意味着只有一个极大子群”，但证明开头居然把拉格朗日定理应用在了共轭类$M$上——可$M$只是个共轭类啊，它根本不是子群，拉格朗日定理不是只能作用在子群上吗？这矛盾的地方我怎么都想不通，恳请大佬帮忙理清这个点！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517681