有限维空间V的子空间U：U=V等价于dimU=dimV？含证明验证

咱们来一步步拆解这个关于有限维线性空间的问题：

A. 命题“U=V当且仅当dim U = dim V”是否成立？ #

这个命题完全成立。对于有限维线性空间来说，维度的本质是它的基所含向量的个数。如果子空间U的维度和V相等，那U的一组基就是V的一组基（因为V里最多只能有dim V个线性无关的向量），这组基既能生成U也能生成V，再结合U是V的子空间（U⊆V），自然就有U=V；反过来如果U=V，维度肯定相等，这是维度的基本定义。

B. 给定的证明是否正确？ #

先把原证明内容列出来：

假设U=V，根据维度定义，dim U = dim V。反之，假设dim U = dim V = n，取U的一组基u₁, …, uₙ。由于U是V的子空间，u₁, …, uₙ在V中线性无关，因此可扩充为V的一组基。但由于u₁, …, uₙ已经（原文未完成）

这个证明的前半部分逻辑没问题，后半段没写完的部分其实是整个反向推导的核心。补全后的完整逻辑应该是：因为V的维度是n，而有限维空间中，任意线性无关的向量组如果向量个数等于空间维度，那它本身就是空间的基——所以这组u₁,…,uₙ不需要扩充，直接就是V的基。这意味着V中的所有向量都能由这组基线性表示，而这组基的向量都属于U，所以V⊆U；又因为U是V的子空间，天然有U⊆V，因此U=V。

总的来说，原证明的思路是正确的，只是没把关键的后半段逻辑写完，补全后就是一个严谨的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tmakino