求证：l^∞有限非零项子空间M不完备的解法是否正确

• 你的构造思路完全正确！这个序列xₙ = \{1, 1/2, …, 1/n, 0, 0, …\}确实是M中的柯西序列，你可以补全d(xₙ,xₘ)的计算：当n ≥ m时，||xₙ−xₘ|| = \sup_{i} |xₙ(i) - xₘ(i)| = 1/(m+1)，当m,n足够大时这个值可以任意小，完美符合柯西序列的定义。
• 接下来只要聚焦于为什么它在M中不收敛：假设存在M中的元素y是它的极限，那y必须是只有有限个非零项的序列，但xₙ逐项趋近的是无穷序列\{1, 1/2, 1/3, …\}，这个序列不在M里，由此就能推出矛盾，证明M不完备啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hamit