如何运用中值定理或罗尔定理证明赛跑者某时刻速度相等

嘿，这个问题刚好是罗尔定理的经典实际应用案例，咱们结合你的思路一步步把它理清楚：

第一步：明确已知条件与函数定义 #

• 设比赛总时长为T，两名赛跑者的位置函数分别为g(t)和h(t)，定义域为闭区间[0, T]
• 已知两人同时起跑：g(0) = h(0)（起点位置完全相同）
• 已知两人同时冲线：g(T) = h(T)（终点位置完全相同）
• 赛跑过程中速度始终存在，因此位置函数g(t)和h(t)在[0, T]上连续，在(0, T)内可导（导数就是瞬时速度，即g’(t)为第一名赛跑者的速度，h’(t)为第二名的速度）

第二步：构造辅助函数 #

按照提示构造函数：

f(t) = g(t) - h(t)

分析这个辅助函数的性质：

1. f(t)在[0, T]上连续：因为g(t)和h(t)都是连续函数，两个连续函数的差依然连续
2. f(t)在(0, T)内可导：同理，两个可导函数的差依然可导，且导数为f’(t) = g’(t) - h’(t)
3. 端点函数值相等：f(0) = g(0) - h(0) = 0，f(T) = g(T) - h(T) = 0，即f(0) = f(T)

第三步：应用罗尔定理 #

根据罗尔定理的结论：如果一个函数满足闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等，那么在开区间(0, T)内至少存在一点c，使得f’(c) = 0。

把f’(c)代入导数表达式：

f’(c) = g’(c) - h’(c) = 0

整理后得到：

g’(c) = h’(c)

这就意味着，在时刻c ∈ (0, T)，两名赛跑者的瞬时速度完全相同。

补充说明 #

其实用拉格朗日中值定理也能推导这个结论，但因为这里端点的位置差为0，罗尔定理（中值定理的特殊情况）会更直接，完全贴合题目给出的提示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622