求白噪声积分X=∫₀¹t dW(t)的均值与方差：分部积分后疑问

一、计算均值$E[X]$ #

你用分部积分的思路完全没问题，我们顺着这个方向往下推，也可以用伊藤积分的基本性质直接得到结果：

方法1：分部积分推导

根据伊藤分部积分公式，对于$f(t)=t$（可微的确定性函数），有：
$$
\int^1_0 t dW(t) = tW(t)\bigg|_0^1 - \int^1_0 W(t)dt = W(1) - \int^1_0 W(t)dt
$$
接下来对两边取期望：
$$
E[X] = E[W(1)] - E\left[\int^1_0 W(t)dt\right]
$$
我们知道布朗运动$W(t)$的核心性质之一是对任意$t\geq0$，$E[W(t)]=0$，所以$E[W(1)]=0$。同时，由于$E[|W(t)|]$是有限值，满足Fubini定理的交换条件，因此期望和积分可以交换顺序：
$$
E\left[\int^1_0 W(t)dt\right] = \int^1_0 E[W(t)]dt = \int^1_0 0 dt = 0
$$
代入后直接得到：$E[X] = 0 - 0 = 0$。

方法2：利用伊藤积分的基本性质

对于被积函数是确定性函数（这里$t$是确定的时间变量），且满足$\int^1_0 t^2 dt < \infty$（显然$\int^1_0 t^2 dt = \frac{1}{3} < \infty$），伊藤积分$\int_a^b f(t)dW(t)$的均值直接为0，所以可以一步得出$E[X]=0$，这个性质能帮你更快得到结果。

二、计算方差$Var(X)$ #

方差的定义是$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^{2$，既然已经知道$E[X]=0$，那只需要计算$E[X}2]$即可，这里最方便的工具是伊藤等距性（Itô Isometry）。

方法1：伊藤等距性直接计算

伊藤等距性的核心结论是：对于满足条件的被积函数$f(t)$，有
$$
E\left[\left(\int_a^b f(t)dW(t)\right)^2\right] = \int_a^b f(t)^2 dt
$$
代入$f(t)=t$，$a=0$，$b=1$：
$$
Var(X) = E[X^2] = \int^1_0 t^2 dt = \frac{t^{3}{3}\bigg|_0}1 = \frac{1}{3}
$$

方法2：分部积分结果验证

如果你想通过分部积分后的表达式验证结果，也可以这样做：
由之前的分部积分结果$X = W(1) - \int^1_0 W(t)dt$，对$X^2$展开：
$$
X^2 = W(1)^2 - 2W(1)\int^1_0 W(t)dt + \left(\int^1_0 W(t)dt\right)^2
$$
对每一项取期望：

1. $E[W(1)^2] = Var(W(1)) = 1$（布朗运动$W(t)$的方差为$t$，当$t=1$时方差为1）；
2. $E\left[W(1)\int^1_0 W(t)dt\right] = \int^1_0 E[W(1)W(t)]dt$，利用布朗运动的协方差性质$E[W(s)W(t)] = \min(s,t)$，这里$s=1$，$t\in[0,1]$，所以$\min(1,t)=t$，积分结果为$\int^1_0 t dt = \frac{1}{2}$，因此这一项的整体期望是$2\times\frac{1}{2}=1$；
3. $E\left[\left(\int^1_0 W(t)dt\right)^2\right] = \int^1_0\int1_0 E[W(s)W(t)]dsdt = \int^1_0\int1_0 \min(s,t)dsdt$，拆分二重积分计算：
   $$
   \int^1_0\int_0t s dsdt + \int^1_0\int_t1 t dsdt = \int^1_0 \frac{t^2}{2}dt + \int^1_0 t(1-t)dt = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}
   $$
   将三项结果代入：
   $$
   E[X^2] = 1 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
   $$
   和伊藤等距性的结果完全一致，验证了正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MelHA