指标记号下二阶可逆张量行列式导数恒等式证明请求

没问题，我来帮你把这个推导一步步补完！咱们就聚焦三维二阶可逆张量的情况，用你已经开始的指标记号接着往下推：

首先你已经得到了第一步展开：
$$
\frac{d}{dt}\det(A(t)) = \frac{d}{dt}(\varepsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}A_{k3}) = \varepsilon_{ijk} \left(\dot{A}{i1}A{j2}A_{k3} + A_{i1}\dot{A}{j2}A{k3} + A_{i1}A_{j2}\dot{A}_{k3}\right)
$$
这里我把$\frac{dA}{dt}$简写为$\dot{A}$，看着更清爽~

接下来咱们单独处理每一项，先回忆两个关键的指标性质：

• 对于三阶矩阵$A$，伴随矩阵的分量满足$(\operatorname{adj}A){pi} = \varepsilon{pjk}A_{jq}A_{kr}$（对应第p行第i列的伴随元素，是去掉第p行第i列的子式乘以符号），而伴随矩阵和逆张量的关系是$\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$，所以$(\operatorname{adj}A){pi} = \det(A)(A^{-1}){pi}$
• 逆张量的核心性质：$A_{im}(A^{-1}){mp} = \delta{ip}$（克罗内克 delta，只有i=p时为1，否则为0）

处理第一项：$\varepsilon_{ijk}\dot{A}{i1}A{j2}A_{k3}$ #

把$\varepsilon_{ijk}A_{j2}A_{k3}$看作伴随矩阵的第1行第i列元素，也就是$(\operatorname{adj}A){1i}$，根据伴随矩阵和逆张量的关系：
$$
\varepsilon{ijk}A_{j2}A_{k3} = \det(A)(A^{-1}){1i}
$$
代入第一项就得到：
$$
\varepsilon{ijk}\dot{A}{i1}A{j2}A_{k3} = \det(A)(A^{-1}){1i}\dot{A}{i1}
$$

处理第二项：$\varepsilon_{ijk}A_{i1}\dot{A}{j2}A{k3}$ #

同理，$\varepsilon_{ijk}A_{i1}A_{k3}$是伴随矩阵的第2行第j列元素$(\operatorname{adj}A){2j}$，所以：
$$
\varepsilon{ijk}A_{i1}A_{k3} = \det(A)(A^{-1}){2j}
$$
代入第二项得：
$$
\varepsilon{ijk}A_{i1}\dot{A}{j2}A{k3} = \det(A)(A^{-1}){2j}\dot{A}{j2}
$$

处理第三项：$\varepsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}\dot{A}_{k3}$ #

同样的逻辑，$\varepsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}$是伴随矩阵的第3行第k列元素$(\operatorname{adj}A){3k}$，即：
$$
\varepsilon{ijk}A_{i1}A_{j2} = \det(A)(A^{-1}){3k}
$$
代入第三项得：
$$
\varepsilon{ijk}A_{i1}A_{j2}\dot{A}{k3} = \det(A)(A^{-1}){3k}\dot{A}_{k3}
$$

合并三项并化简为迹的形式 #

现在把这三项加起来：
$$
\frac{d}{dt}\det(A(t)) = \det(A)\left[(A^{-1}){1i}\dot{A}{i1} + (A^{-1}){2j}\dot{A}{j2} + (A^{-1}){3k}\dot{A}{k3}\right]
$$
注意到括号里的部分，其实就是张量乘积$A^{-1}\dot{A}$的迹——因为迹的定义就是张量（矩阵）对角线元素之和，用指标记号表示就是$\operatorname{tr}(B) = B_{mm}$（爱因斯坦求和约定，重复指标自动求和）。这里把括号里的指标统一替换后，括号内的和等价于$(A^{{-1})_{ij}\dot{A}_{ji}$，正好对应$\operatorname{tr}\left(A}{-1}\dot{A}\right)$（矩阵乘积$A^{-1}\dot{A}$的对角线元素之和）。

所以最终就得到了：
$$
\frac{d}{dt}\det(A(t)) = \det(A)\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{dA}{dt}\right)
$$

完美！这样就用纯指标记号把三维的情况证明完啦~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bengt