验证H(z)的解析性：证明过程合理性校验咨询

问题背景 #

设$h: [0,1] \to \mathbb{C}$为连续函数，定义函数
$$H(z) = \int_0^1 \frac{h(t)}{t-z} dt$$
其中$z \notin [0,1]$，需要证明$H(z)$在$\mathbb{C} / [0,1]$上解析。

证明思路 #

核心思路是通过复可微的定义来验证：只需证明$H(z)$在$\mathbb{C} / [0,1]$内任意一点都满足复可微条件，也就是计算极限：
$$\lim_{r \to 0} \frac{H(z+r)-H(z)}{r} = \lim_{r \to 0} \int_0^1 \bigg( \frac{h(t)}{(t-(z+r))(t-z)} \bigg) dt$$

关键校验（重点针对结尾部分） #

要让这个证明严谨，结尾处必须补全两个核心逻辑步骤，这也是最容易被忽略的细节：

1. 交换极限与积分顺序的合理性论证
   因为$z \notin [0,1]$，所以存在正数$\delta$，使得对所有$t \in [0,1]$都有$|t-z| \geq \delta$。当$|r| < \delta/2$时，$|t-(z+r)| \geq |t-z| - |r| \geq \delta/2$，此时被积函数的绝对值满足：
   $$\bigg| \frac{h(t)}{(t-(z+r))(t-z)} \bigg| \leq \frac{\max_{t \in [0,1]} |h(t)|}{(\delta/2)\delta} = \frac{2M}{\delta^2}$$
   其中$M = \max_{t \in [0,1]} |h(t)|$（由于$h$连续，$M$必然存在）。根据勒贝格控制收敛定理（或者实分析中的一致收敛准则），被积函数关于$r$一致有界，且当$r \to 0$时逐点收敛到$\frac{h(t)}{(t-z)^2}$，因此可以合法交换极限与积分的顺序。

2. 推导复导数的最终表达式
   完成顺序交换后，极限就转化为积分：
   $$\int_0^1 \frac{h(t)}{(t-z)^2} dt$$
   这就证明了$H(z)$在$z$处的复导数存在，且等于上述积分。由于$z$是$\mathbb{C} / [0,1]$内的任意一点，因此$H(z)$在整个区域上解析。

如果原证明的结尾跳过了第一步的合理性论证，直接默认可以交换极限与积分，那证明就是不严谨的——这是这类积分型函数解析性证明的核心逻辑，绝对不能省略。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dan1618