求ℤ×ℤ₂中所有与ℤ同构的子群，确认是否存在更多子群

好问题！先纠正一个小错误：你提到的nℤ × {1}并不是子群哦——子群必须包含单位元(0,0)，但这个集合里没有；而且对加法封闭吗？比如(na,1)+(nb,1)=(n(a+b),0)，这个结果不在nℤ × {1}里，所以它不满足子群的条件，得排除掉。

接下来我们来系统分析ℤ×ℤ₂中所有同构于ℤ的子群：

因为ℤ是无限循环群，所以我们要找的子群也必须是无限循环群（同构的群结构完全一致）。设G=ℤ×ℤ₂，它的元素形式是(k, [m])，其中k∈ℤ，m∈{0,1}。我们分两种情况讨论生成元：

1. 生成元是(n, [0])（n≠0） #

这类生成元的阶是无限的（因为m*(n,0)=(mn,0)，只有当m=0时才等于单位元(0,0)）。由它生成的子群是：

nℤ × {0} = {(kn, 0) | k∈ℤ}

显然这个子群是无限循环群，和ℤ同构（映射k→(kn,0)就是一个同构）。所有这类子群就是nℤ × {0}，其中n是正整数（n取负整数和正整数生成的子群是一样的，比如-2ℤ×{0}=2ℤ×{0}）。

2. 生成元是(n, [1])（n≠0） #

这类生成元的阶也是无限的：计算m*(n,1)=(mn, [m mod2])，要等于(0,0)必须mn=0且[m mod2]=0，而n≠0时mn=0仅当m=0，所以不存在正整数m使得m*(n,1)=(0,0)，因此生成元是无限阶的。

由(n,1)生成的子群是：

H_n = {(mn, [m mod2]) | m∈ℤ}

举个例子，当n=1时，H_1={(m, [m mod2]) | m∈ℤ}，包含(1,1),(2,0),(3,1),(4,0),...这些元素；当n=2时，H_2={(2m, [m mod2]) | m∈ℤ}，包含(2,1),(4,0),(6,1),(8,0),...。

我们可以验证H_n和ℤ同构：定义映射φ:ℤ→H_n，φ(m)=(mn, [m mod2])，这是一个群同态（加法保持），而且是单射（若φ(m1)=φ(m2)，则mn1=mn2且[m1 mod2]=[m2 mod2]，因为n≠0，所以m1=m2），同时是满射（H_n的所有元素都是φ(m)的形式），因此φ是同构，H_n≅ℤ。

总结 #

ℤ×ℤ₂中所有与ℤ同构的子群分为两类：

• 所有形如nℤ × {0}的子群（n为正整数）；
• 所有形如{(mn, [m mod2]) | m∈ℤ}的子群（n为正整数）。

有没有遗漏？假设存在一个无限循环子群不属于这两类，那它的生成元必然是(0,1)，但(0,1)的阶是2，生成的子群是有限的，不符合要求；其他元素要么是(n,0)要么是(n,1)（n≠0），所以所有无限循环子群都被覆盖了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yeezus