热守恒方程：热、焓与内能的指代及粘性流体绝热传热方程构建

嘿，我来帮你理清这个推导和相关的热力学概念，咱们一步步来：

首先明确你的核心前提：绝热系统（无外界热量交换），唯一的热量来源是内摩擦/粘性耗散，这个设定是推导的关键。

先回顾你给出的两个核心定义：

• 粘性耗散函数（单位体积内粘性力做功的功率，最终转化为热量）：
  $$\Phi_v= \check{\tau}:\check{\nabla}^T\check{\nu} \tag{1}$$
  这里的冒号是张量的双点积运算，对应分量相乘后求和，用来计算偏应力张量和速度梯度张量之间的能量耗散率。
• 偏应力张量$\check{\tau}$：
  $$\check{\tau}=\check{\sigma}-P\check{I} \tag{2}$$
  这个式子是把总柯西应力张量$\check{\sigma}$拆成了两部分：流体静压力$P$对应的各向同性应力（$P\check{I}$，无粘性流体的应力形式），以及由粘性效应引起的偏应力$\check{\tau}$。

接下来推导绝热系统的传热方程：
绝热系统意味着$\dot{Q}=0$（无外界热量输入/输出），所以能量守恒的核心逻辑是：流体微团的内能变化率 = 粘性耗散产生的能量 + 压缩/膨胀功的功率。

我们从单位质量的总能量守恒方程出发：
$$\rho \frac{D (u + \frac{1}{2}\nu^2)}{D t} = \nabla \cdot (\check{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nu}) + \rho \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{\nu}$$
其中：

• $\frac{D}{Dt}$是物质导数（随体导数），用来跟踪特定流体微团的时间变化率；
• $u$是单位质量内能，$\frac{1}{2}\nu^2$是单位质量动能；
• $\boldsymbol{f}$是单位质量体积力。

我们关注传热（内能/温度变化），所以把动能项移到右边，再代入$\check{\sigma} = \check{\tau} + P\check{I}$拆分应力，结合连续方程$\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\nu}=0$和动量方程消去动能、体积力相关项后，最终可以得到绝热系统下的内能守恒方程：
$$\rho \frac{D u}{D t} = -P \nabla \cdot \boldsymbol{\nu} + \Phi_v$$

如果要转换成温度形式，利用热力学关系$u = c_v T$（定容比热，假设常物性流体），代入后得到：
$$\rho c_v \frac{D T}{D t} = \Phi_v - P \nabla \cdot \boldsymbol{\nu}$$
这里的$-P \nabla \cdot \boldsymbol{\nu}$是可压缩流体的压缩/膨胀功：流体压缩时（$\nabla \cdot \boldsymbol{\nu}<0$），压力对流体做功，内能增加；膨胀时则相反。

这三个量在能量守恒里扮演着完全不同的角色，我给你拆解清楚：

• 内能（$u$，单位质量）：
  是流体分子内部的总能量，包含分子热运动的动能、分子间的相互作用势能（可压缩流体中，密度变化会改变这部分势能）。在热守恒里，内能的变化直接反映了流体微团“存储”的能量变化——比如粘性耗散的能量最终会转化为内能，让分子热运动加剧，宏观表现为温度升高。
• 焓（$h$，单位质量）：
  定义是$h = u + \frac{P}{\rho}$，可以理解为**“流动的内能”**：它把内能和流体流动时压力做的功绑定在了一起。在开口系统（比如流体流过管道、涡轮机）的能量守恒中，焓是更常用的量，因为它自然包含了流体进入/离开控制体时携带的压力能。在热守恒方程里，处理可压缩流体的压力变化时，焓的变化能更直接地关联温度和压力的共同影响，比如热力学微分关系$dh = c_p dT + \frac{1}{\rho}(1 - \beta T)dP$（$\beta$为热膨胀系数）。
• 热（$Q$）：
  是系统与外界之间传递的能量形式，和“做功”是完全不同的能量传递方式。在热守恒方程中，$\dot{Q}$是单位时间内传递给单位质量流体的热量（比如导热、对流、辐射换热）。你题目中的绝热系统就是$\dot{Q}=0$的情况——没有外界热量交换，所有的能量变化都来自于粘性耗散（属于粘性力对流体微团做的功，最终转化为内能）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Foad