关于以2/n及O(1/n)精度用次数≤n多项式逼近连续函数的问询

咱们先直接给出核心结论：第一个问题的答案是否定的，第二个问题的答案同样是否定的。下面来逐一拆解说明：

问题1：是否存在次数≤n的多项式$P_n(x)$，对所有$|f|≤1$的$C[0,1]$连续函数满足$|f-P_n|_\infty < \frac{2}{n}$？ #

答案是不存在。

原因在于，连续函数空间里存在一些“极难被多项式逼近”的函数，它们的最佳多项式逼近误差下降速度比$\frac{1}{n}$要慢。最经典的例子就是Weierstrass函数：
$$f(x) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \cos\left(b^k \pi x\right)$$
这里取$b$为满足$b > 2 + \frac{3\pi}{2}$的奇整数。这个函数处处连续但处处不可微，而且容易验证$|f(x)| \leq 1$，完全符合题目里的函数条件。

它的最佳$n$次多项式逼近阶满足：
$$d_n(f) = \inf_{\deg P \leq n} |f-P|_\infty = \Omega\left(\frac{\log n}{n}\right)$$
当$n$足够大时，$\frac{\log n}{n}$会明显大于$\frac{2}{n}$——毕竟$\log n$是随$n$增长的。这意味着，无论你怎么选次数不超过$n$的多项式$P_n(x)$，都不可能让它和这个Weierstrass函数的一致误差小于$\frac{2}{n}$。

从泛函分析的角度看，如果真的存在这样的多项式$P_n$对所有$f$成立，那对应的逼近算子会是一致有界的，但这和已知的多项式逼近算子范数增长规律（比如伯恩斯坦算子的范数是$O(\log n)$）矛盾，进一步佐证了结论。

问题2：是否所有连续函数都可被次数≤n的多项式以$O\left(\frac{1}{n}\right)$的精度一致逼近？ #

答案也是否定。

还是刚才的Weierstrass函数，它的最佳逼近阶是$\Omega\left(\frac{\log n}{n}\right)$，这个量级比$O\left(\frac{1}{n}\right)$要“差”——也就是说，当$n$增大时，$\frac{\log n}{n}$的下降速度比$\frac{1}{n}$慢得多，根本达不到$O\left(\frac{1}{n}\right)$的精度。

不过要补充一点：只有当连续函数具备一定光滑性时，才能达到$O\left(\frac{1}{n}\right)$的逼近阶：

• 如果$f$是利普希茨连续的（存在常数$L>0$，使得$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$对所有$x,y\in[0,1]$成立），那么它的最佳$n$次多项式逼近阶就是$O\left(\frac{1}{n}\right)$；
• 如果$f$是$k$次可微且$k$阶导数利普希茨连续，逼近阶甚至能达到$O\left(\frac{1}{n^{k+1}}\right)$。

但对于那些“不光滑”的连续函数（比如处处不可微的函数），它们的最佳多项式逼近误差下降得更慢，无法达到$O\left(\frac{1}{n}\right)$的精度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antimonius