如何化简三角函数表达式？指定目标形式及可用恒等式

架构老林

2026-5-19

三角函数表达式化简步骤

我来一步步帮你把这个表达式化简到目标形式，咱们就用题目给的半角恒等式$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$来入手，过程会很清晰：

步骤1：先合并原表达式的两个分式

设$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$，原表达式可以写成：
$$\frac{2t}{(t-1)^2} + \frac{t^2 + 1}{2t}$$

先给两个分式通分，公分母取$2t(t-1)^2$，合并后得到：
$$\frac{4t^2 + (t^2 + 1)(t-1)^2}{2t(t-1)2}$$

步骤2：用半角公式替换$t$

把$t = \frac{1-\cos x}{\sin x}$代入，先分别处理分子和分母的各个部分：

处理分子中的$(t^2 + 1)$部分

利用$\cos^2x + \sin^2x = 1$展开：
$$
\begin{align*}
t^2 + 1 &= \left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)^2 + 1 \
&= \frac{(1-\cos x)^2 + \sin^2x}{\sin2x} \
&= \frac{1 - 2\cos x + \cos^2x + \sin^2x}{\sin2x} \
&= \frac{2(1-\cos x)}{\sin^2x}
\end{align*}
$$

处理分子中的$(t-1)^2$部分

$$
\begin{align*}
(t-1)^2 &= \left(\frac{1-\cos x}{\sin x} - 1\right)^2 \
&= \left(\frac{1-\cos x - \sin x}{\sin x}\right)^2 \
&= \frac{(1-\cos x - \sin x)^2}{\sin2x}
\end{align*}
$$

接下来展开$(1-\cos x - \sin x)^2$，利用平方和公式简化：
$$
\begin{align*}
(1-\cos x - \sin x)^2 &= (1-\cos x)^2 - 2(1-\cos x)\sin x + \sin^2x \
&= 1 - 2\cos x + \cos^2x - 2\sin x + 2\cos x\sin x + \sin^2x \
&= 2(1-\cos x) - 2\sin x(1-\cos x) \
&= 2(1-\cos x)(1-\sin x)
\end{align*}
$$

把这些化简结果代入合并后的分式，分子中的$(1-\cos x)$项可以和分母中的对应项约去，最终得到只含$\sin x$的表达式。