不定积分求解咨询：∫tanx/(x²+1)²dx是否存在初等原函数？

Hey there! Let's unpack your question step by step.

首先，你做的换元$x = \tan y$是完全合理的，咱们可以稍微整理下换元后的式子：因为$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$，且$dx = \sec^2 y dy$，所以原积分转换后其实是：
$$I = \int \frac{\tan(\tan y)}{\sec^4 y} \cdot \sec^2 y dy = \int \tan(\tan y) \cdot \cos^2 y dy$$
不过不管怎么整理，核心结论是：这个积分没有初等原函数。

什么是初等原函数？ #

初等函数指的是由多项式、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数经过有限次四则运算和复合操作得到的函数。而有些积分的原函数无法用这类函数表示，这类积分就被称为「非初等积分」。你的这个积分就属于这一类——$\tan(\tan y)$（本质是$\tan(x)$和$\arctan(x)$的复合，再结合有理函数的积分）的组合，无法通过常规积分技巧（换元、分部积分等）得到初等表达式。

类似的经典非初等积分还有：

• $\int e^{-x2}dx$（高斯积分）
• $\int \frac{\sin x}{x}dx$（正弦积分）
• $\int \frac{\cos x}{x}dx$（余弦积分）

那怎么表示这个积分的原函数？ #

虽然没有初等表达式，但我们可以用泰勒级数展开的方式得到它的级数形式原函数：

1. 先把$\tan(u)$在收敛区间内展开成泰勒级数：$\tan(u) = u + \frac{u^3}{3} + \frac{2u^5}{15} + \frac{17u^7}{315} + \dots$
2. 令$u = \tan y$，代入后得到$\tan(\tan y)$的级数展开
3. 再乘以$\cos^2 y$，逐项积分后就能得到原函数的无穷级数形式

不过这个级数形式的原函数不属于初等函数范畴，只能作为一种解析表示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hussien Mohamed