关于用二项式微分法求解∫√(1+x²)dx的正误验证问询

我最近在求解积分$$\int \sqrt{1+x^2}dx$$的时候，之前了解到这个积分用双曲函数法就能搞定，但发现它刚好属于$\int x^m(a+bxn)^p,dx$的二项式微分积分形式，就试着用二项式微分法来求解，结果花了不少时间还卡壳了，现在想确认这个方法到底可行不可行，同时排查下我推导过程里的错误。

这个积分可以写成$$\int(1+x²⁾\frac{1}{2}dx$$，对应二项式微分形式里的参数：$m=0$，$n=2$，$p=\frac{1}{2}$。我记得二项式微分法的适用条件里，当$\frac{m+1}{n}+p$是整数的时候可以用特定代换，算了一下：$\frac{0+1}{2}+\frac{1}{2}=1$，确实是整数，所以我采用了代换$x^{-2}+1=t2$，不过推导到一半就卡住了，得到的式子是：$$-\frac{dx}{x...$$

首先可以明确：二项式微分法对于这个积分是完全可行的，你的参数判断完全正确，$\frac{m+1}{n}+p=1\in\mathbb{Z}$，符合代换条件，咱们把完整推导走一遍，帮你排查可能的错误：

1. 先把代换式$x^{-2}+1=t2$整理一下：
   $t^2 - 1 = x^{{-2}$，也就是$x}2 = \frac{1}{t^2 - 1}$，这里咱们先取$x>0$的情况推导（$x<0$的结果只是符号稍有不同，最终可以统一），所以$x=(t^2 - 1)^{-\frac{1}{2}}$。
2. 对两边求导：
   $$dx = -\frac{1}{2}(t^2 - 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2t dt = -\frac{t}{(t^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}dt$$
   你卡壳的地方可能是在这里求导或者代换转换时出现了幂次或符号错误，比如直接对$x^{-2}+1=t2$隐函数求导的话，左边是$-2x^{-3}dx=2tdt$，也就是$dx=-t x^3 dt$，结合$x^3=x\cdot x^2=\frac{x}{t2-1}$，也能得到和上面一致的$dx$表达式。
3. 处理原积分里的$\sqrt{1+x^2}$：
   $$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{t^2 - 1}} = \sqrt{\frac{t^2}{t2 - 1}} = \frac{t}{\sqrt{t^2 - 1}}$$
4. 把$dx$和$\sqrt{1+x^2}$代入原积分：
   $$\int \sqrt{1+x^2}dx = \int \frac{t}{\sqrt{t^2 - 1}} \cdot \left(-\frac{t}{(t^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}\right)dt = -\int \frac{t^2}{(t2 - 1)^2}dt$$
5. 对分式进行拆分简化：
   $$\frac{t^2}{(t2 - 1)^2} = \frac{(t^2 - 1) + 1}{(t^2 - 1)^2} = \frac{1}{t^2 - 1} + \frac{1}{(t^2 - 1)^2}$$
6. 分别计算两个积分：
   • $\int \frac{1}{t^2 - 1}dt$：用分式拆分法，得到$\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + C_1$
   • $\int \frac{1}{(t^2 - 1)^{2}dt$：用分部积分或者递推公式，结果是$\frac{-t}{2(t}2 - 1)} + \frac{1}{4}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + C_2$
7. 合并结果并整理：
   $$-\left[\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| - \frac{t}{2(t^2 - 1)} + \frac{1}{4}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right|\right] + C$$
   $$= -\frac{3}{4}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + \frac{t}{2(t^2 - 1)} + C$$
8. 最后把$t$换回$x$：
   因为$t = \sqrt{x^{-2} + 1} = \frac{\sqrt{1+x^{2}}{x}$（$x>0$），且$t}2 - 1 = x^{{-2}$，所以$\frac{t}{t}2 - 1} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \cdot x^2 = x\sqrt{1+x^2}$。再对对数部分化简：
   $$\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| = \ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2} - x}{\sqrt{1+x^2} + x}\right| = -\ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right)$$
   代入后就能得到和双曲函数法完全一致的结果：
   $$\frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \ln(x + \sqrt{1+x^2})) + C$$

所以你的思路完全没问题，只是推导过程中可能在求导、代换转换的细节上出了小差错，顺着完整流程走下来就能得到正确结果啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Plexus