稠密集等价定义证明求助：Rudin《数学分析原理》实分析问题

嘿，我刚啃鲁丁《数学分析原理》（POMA）的时候也在这个等价性上卡过壳，咱们一步步把它捋清楚～

先明确你给出的两个定义（先帮你小修正表述避免歧义，鲁丁里的核心是闭包等于全空间）：
设$(X, d)$是度量空间，$E \subseteq X$：

1. 定义1：$E$在$X$中稠密当且仅当 $\overline{E} = X$（即$X$的每一点要么属于$E$，要么是$E$的极限点；你写的“$X$的每一点都是$E$的极限点，或$E=X$”是这个定义的特例，当$E \neq X$时，所有不在$E$里的点都是极限点，而$E$内的点可以是孤立点或极限点）
2. 定义2：$E$在$X$中稠密当且仅当 $E$与$X$的每个非空开集的交集非空

接下来分两个方向完成等价性证明：

方向1：定义1 ⇒ 定义2 #

假设$\overline{E} = X$，任取$X$中的非空开集$U$，我们要证$U \cap E \neq \emptyset$。

任取$x \in U$（$U$非空，所以这样的$x$一定存在）：

• 如果$x \in E$，那显然$x \in U \cap E$，交集非空；
• 如果$x \notin E$，根据定义1，$x$是$E$的极限点。因为$U$是开集，所以存在$\epsilon > 0$使得开球$B(x, \epsilon) \subseteq U$。而极限点的定义是：任意$\epsilon > 0$，$B(x, \epsilon) \cap (E \setminus {x}) \neq \emptyset$，也就是$B(x, \epsilon) \cap E \neq \emptyset$。又因为$B(x, \epsilon) \subseteq U$，所以$U \cap E \supseteq B(x, \epsilon) \cap E \neq \emptyset$，得证。

方向2：定义2 ⇒ 定义1 #

假设$E$与$X$的每个非空开集交集非空，我们要证$\overline{E} = X$，即每个$x \in X$要么属于$E$，要么是$E$的极限点。

任取$x \in X$：

• 如果$x \in E$，那自然满足闭包的要求；
• 如果$x \notin E$，我们要证明$x$是$E$的极限点。任取$\epsilon > 0$，开球$B(x, \epsilon)$是$X$中的非空开集（因为$x \in B(x, \epsilon)$）。根据定义2，$B(x, \epsilon) \cap E \neq \emptyset$。又因为$x \notin E$，所以$B(x, \epsilon) \cap (E \setminus {x}) = B(x, \epsilon) \cap E \neq \emptyset$，完全符合极限点的定义，因此$x$是$E$的极限点。

综上，两个定义完全等价～

另外补充一下你最初写的定义1的小细节：你说“$X$的每一点都是$E$的极限点，或$E=X$”，其实当$E \neq X$时，$E$里的点不一定都是极限点（比如例子：$X=[0,2]$，$E=[0,1] \cup {2}$，这里$2 \in E$但不是极限点，但$E$满足定义2，且$\overline{E}=X$），所以正确的表述应该是闭包等于$X$，也就是每一点要么在$E$里，要么是极限点，这样就和定义2完全匹配了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAT