已知x+2y+3z=15（正实数），求目标表达式最大值的解法

嘿，你遇到的这个问题我太懂了——用AM-GM时等号条件凑不上，明明感觉思路对但就是卡壳对吧？别着急，我一步步带你理顺～

我们可以通过拉格朗日乘数法的思路（或者直接对目标函数和约束条件求偏导），先确定极值点的变量关系：
对目标函数$L=6(1+x)yz +x(2y+3z) -λ(x+2y+3z-15)$求偏导后，会得到三个偏导等于0的式子，联立后可以推出**$2y=3z$**——这就是关键的等号条件，能帮我们把三个变量简化成一个，避免之前的冲突。

既然知道$2y=3z$，我们设$2y=3z=k$（$k$是正实数），这样：

• $y=k/2$，$z=k/3$
  代入约束条件$x+2y+3z=15$，可得$x=15-2k$（因为$2y+3z=k+k=2k$，同时要保证$x>0$，所以$k<15/2$）

接下来把$x、y、z$代入原目标表达式：

6(1+x)yz + x(2y+3z)

拆分计算每一部分：

• $yz=(k/2)(k/3)=k²/6$
• $1+x=1+15-2k=16-2k$
• $2y+3z=2k$

代入后化简：
第一项：$6*(16-2k)*(k²/6)=(16-2k)k²=16k²-2k³$
第二项：$(15-2k)*2k=30k-4k²$

合并后，目标函数就变成了关于$k$的一元三次函数：

f(k) = -2k³ + 12k² + 30k

现在我们对$f(k)$求导找极值点：

f’(k) = -6k² + 24k + 30 = -6(k² - 4k - 5) = -6(k-5)(k+1)

令导数为0，得到$k=5$（$k=-1$舍去，因为$k$是正实数）。

再判断单调性：

• 当$0<k<5$时，$f’(k)>0$，函数递增；
• 当$5<k<15/2$时，$f’(k)<0$，函数递减。

所以$k=5$时，$f(k)$取到最大值，代入计算：

f(5) = -2*(5)³ + 12*(5)² + 30*5 = -250 + 300 + 150 = 200

把$k=5$代回变量：

• $y=5/2$，$z=5/3$，$x=15-25=5$
  代入约束条件验证：$5 + 2(5/2) + 3*(5/3)=5+5+5=15$，完全满足所有正实数的要求。

如果不想用微积分，也可以基于$2y=3z$的关系调整表达式后用AM-GM，但微积分的方法在这里更直接高效，能避开等号条件冲突的问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user481779