k-循环的逆元求解：从右到左写出的是右逆元还是左逆元？

嘿，这个问题问得特别到位——尤其是涉及非交换群的时候，很容易对逆元的“左右”产生混淆！先给你拆解清楚：

首先明确群的核心性质：左逆元=右逆元，不管群是否交换 #

不管是阿贝尔群还是非阿贝尔群（比如你提到的$S_n$当$n≤3$时），每个元素的左逆元必然等于右逆元，而且是唯一的。这不是凭空说的，从群的公理就能推出来：
假设元素$a$有左逆元$b$（满足$b∘a=id$）和右逆元$c$（满足$a∘c=id$），那么：
$$b = b∘id = b∘(a∘c) = (b∘a)∘c = id∘c = c$$
所以对你的k-循环来说，根本不存在“左逆元≠右逆元”的情况，那个从右到左写的循环既是它的左逆元，也是右逆元。

你可能混淆了“置换复合顺序”和“逆元的左右” #

你提到$S_n$当$n≤3$时非阿贝尔，比如$S_3$里(1 2)∘(1 3) ≠ (1 3)∘(1 2)，这是不同置换的复合顺序会影响结果，但这和单个元素的逆元完全是两回事——逆元是针对单个元素的，和其他元素的复合无关。

拿你的例子具体验证：循环(1,2,4,6,3)的逆元 #

先明确原循环的映射作用：

• 原循环$\sigma = (1,2,4,6,3)$的映射是：$1→2$，$2→4$，$4→6$，$6→3$，$3→1$，其余元素保持不动。
• 逆元$\sigma^{{-1}$需要把这个映射“完全倒过来”：$2→1$，$4→2$，$6→4$，$3→6$，$1→3$，这样才能满足$\sigma∘\sigma}{-1}=id$和$\sigma^{-1}∘\sigma=id$。

把这个逆映射写成循环的话，从任意一个元素开始追踪就行：比如从3出发，$3→6→4→2→1→3$，也就是(3,6,4,2,1)——这正是你说的“从右到左写出的循环”。

咱们手动验证一下复合：

• $\sigma∘\sigma^{-1}(1) = \sigma(\sigma^{-1}(1)) = \sigma(3) = 1$，符合恒等映射；
• $\sigma^{-1}∘\sigma(1) = \sigma^{-1}(\sigma(1)) = \sigma^{-1}(2) = 1$，同样符合恒等映射；
  其他元素的验证逻辑完全一致，所以这个循环确实是原循环的逆元，而且既是左逆元也是右逆元。

总结一下 #

• 对任何群（包括非交换的对称群$S_n$），单个元素的左逆元与右逆元是同一个，唯一存在；
• k-循环的逆元就是把原循环的元素从右到左依次写出的循环；
• $S_n$的非交换性体现在不同置换的复合顺序会改变结果，但这和单个元素的逆元没有关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者newhere