求证满足∀x∈G，x²=1的群G是交换群，证明是否严谨？

我现在碰到一个群论相关的证明问题，想请教大家：已知群(G)满足对所有(x \in G)，(x^2 = 1)，需要证明(G)是交换群。有人给出了这样的证明过程：

取(a,b \in G)，令(x=ab)，则(x^{2=abab=aabb=a}2b^2)，化简得(ab=ba)，进而验证(1=1)，据此得出(G)是交换群。

我有几个疑问和诉求：

• 请问这个证明是否严谨？
• 我本身对这类代数证明内容一直存在困惑，总担心自己是不是在过度思考，想确认这种顾虑有没有必要。
• 同时，我希望能申诉版主的相关决定。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bad at algebra and proofs