求助：证明d₁与电梯度量不等价及二者等价性疑问

首先，直接给出结论：电梯度量$d$和曼哈顿度量$d_1$不是等价距离，下面我们一步步完成证明，结合你已经得出的结论来推导。

先明确两个度量的定义 #

对于任意$x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$：

1. 电梯度量$d$的定义：
   $$
   d(x,y) =
   \begin{cases}
   |x_{2}-y_{2}| & \text{若 }x_{1}=y_{1} \
   |x_{2}|+|x_{1}-y_{1}|+|y_{2}| & \text{否则}
   \end{cases}
   $$
2. 曼哈顿度量$d_1$的定义：
   $$
   d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
   $$

验证你已得出的结论：$d_1(x,y) \leq d(x,y)$ 及开球包含关系 #

你已经得到的这个不等式是完全正确的，我们可以快速验证：

• 当$x_1 = y_1$时，$d(x,y)=|x_2-y_2|$，而$d_1(x,y)=|x_2-y_2|$，此时等号成立；
• 当$x_1 \neq y_1$时，$d(x,y)=|x_2| + |x_1-y_1| + |y_2|$，根据三角不等式$|x_2 - y_2| \leq |x_2| + |y_2|$，可得$d_1(x,y)=|x_1-y_1| + |x_2-y_2| \leq |x_1-y_1| + |x_2| + |y_2| = d(x,y)$。

由这个不等式可以直接推出开球的包含关系：对任意点$x$和半径$\epsilon>0$，$B_d(x;\epsilon) \subseteq B_{d_1}(x;\epsilon)$——毕竟在$d$下距离$x$小于$\epsilon$的点，在$d_1$下距离只会更小，必然也在$d_1$的$\epsilon$开球里。

证明$d_1 \not\equiv d$：不存在常数$C>0$使得$d(x,y) \leq C \cdot d_1(x,y)$ #

距离等价的核心要求是双向有界：存在常数$C_1,C_2>0$，使得对所有$x,y \in \mathbb{R}^2$，$C_1 d_1(x,y) \leq d(x,y) \leq C_2 d_1(x,y)$。我们已经有了$C_1=1$的单向界，但找不到满足条件的$C_2$，这可以通过构造反例来证明：

取点$x=(0, t)$，$y=(1, t)$，其中$t>0$是任意正数：

• 计算$d(x,y)$：因为$x_1=0 \neq 1=y_1$，代入定义得$d(x,y)=|t| + |0-1| + |t| = 2t + 1$；
• 计算$d_1(x,y)$：$d_1(x,y)=|0-1| + |t - t| = 1 + 0 = 1$。

假设存在某个常数$C>0$，使得$d(x,y) \leq C \cdot d_1(x,y)$对所有$x,y$成立，那么对这个例子来说：
$$2t + 1 \leq C \cdot 1 = C$$
但$t$可以取任意大的正数（比如$t=C$），此时左边$2C+1$显然大于$C$，矛盾。这说明不存在这样的常数$C$，也就打破了双向有界的要求。

总结 #

因为仅满足$d_1(x,y) \leq d(x,y)$的单向不等式，无法找到常数$C$使得$d(x,y) \leq C \cdot d_1(x,y)$，所以电梯度量$d$和曼哈顿度量$d_1$不是等价距离，即$d_1 \not\equiv d$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathgirl796