求笛卡尔叶形线x³+y³=3xy在第一象限的水平与垂直切线点

Hey，咱们一步步来解决这个问题，先从隐函数求导开始，这是处理这类曲线切线问题的核心步骤：

1. 隐函数求导推导导数表达式 #

对笛卡尔叶形线的方程 $x^3 + y^3 = 3xy$ 两边关于 $x$ 求导：

• 左边求导结果：3x² + 3y²·dy/dx
• 右边求导结果：3y + 3x·dy/dx

把两边相等的式子整理一下，先两边都除以3简化：
$$x² + y²\frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$$

接着把含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到一侧，提取公因子后得到导数的表达式：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x²}{y² - x}$$

2. 寻找水平切线的点（$\frac{dy}{dx}=0$） #

水平切线要求导数为0，也就是分子为0，同时分母不为0：

1. 令分子 $y - x² = 0$，得到 $y = x²$
2. 把 $y = x²$ 代入原曲线方程，替换掉 $y$：
   $$x³ + (x²)^3 = 3x·x²$$
   化简后得到：
   $$x^6 - 2x³ = 0$$
   提取公因子 $x³$，解得 $x=0$ 或 $x=\sqrt[3]{2}$

• 当 $x=0$ 时，$y=0$，代入分母 $y² - x = 0$，此时导数是0/0的不定式，不符合要求，舍去；
• 当 $x=\sqrt[3]{2}$ 时，$y=(\sqrt[3]{2})² = \sqrt[3]{4}$，此时分母 $y² - x = (\sqrt[3]{4})² - \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2} ≠ 0$，完全符合条件。

所以第一象限内水平切线的点是 $\boldsymbol{(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})}$。

3. 寻找垂直切线的点（$\frac{dy}{dx}$ 不存在） #

垂直切线对应切线垂直于x轴，此时导数为无穷大，也就是分母为0，同时分子不为0（注意你问题里写的垂直满足 $\frac{dy}{dx}=1$ 或0是笔误哦，正确的是导数不存在）：

1. 令分母 $y² - x = 0$，得到 $x = y²$
2. 把 $x = y²$ 代入原曲线方程，替换掉 $x$：
   $$(y²)^3 + y³ = 3·y²·y$$
   化简后得到：
   $$y^6 - 2y³ = 0$$
   提取公因子 $y³$，解得 $y=0$ 或 $y=\sqrt[3]{2}$

• 当 $y=0$ 时，$x=0$，代入分子 $y - x² = 0$，同样是0/0不定式，舍去；
• 当 $y=\sqrt[3]{2}$ 时，$x=(\sqrt[3]{2})² = \sqrt[3]{4}$，此时分子 $y - x² = \sqrt[3]{2} - (\sqrt[3]{4})² ≠ 0$，符合条件。

所以第一象限内垂直切线的点是 $\boldsymbol{(\sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{2})}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James