求L^p空间不相交支撑函数和的算子范数不等式证明及推广

我来帮你一步步推导原引理的证明，并且把结论推广到任意$p\in[1,\infty)$的$L^p$空间。

首先明确所有前提条件：

• 设$(X,\mu)$是测度空间，$f\in L^p(X,\mu)$是非零函数，且$f=\sum_{i\in I}f_i$，其中${f_i}_{i\in I}$是支撑两两不相交的非零函数（即对任意$i\neq j$，$\text{supp}(f_i)\cap\text{supp}(f_j)=\emptyset$）
• $T:L^p(X,\mu)\to L^p(Y,\nu)$是有界线性算子，且${Tf_i}_{i\in I}$的支撑也两两不相交

第一步：先证明原$L^2$空间的结论 #

对于$L^2$空间，支撑不相交的函数有一个核心性质：它们是正交的，因此范数的平方等于各部分范数平方之和：
$$||f||2^2 = \sum{i\in I}||f_i||_2^2$$
同理，因为${Tf_i}$支撑不相交，所以：
$$||Tf||2^2 = ||\sum{i\in I}Tf_i||2^2 = \sum{i\in I}||Tf_i||_2^2$$

设$M = \sup_{i\in I}\frac{||Tf_i||_2}{||f_i||_2}$，则对每个$i\in I$，有$||Tf_i||_2 \leq M||f_i||_2$。将两边平方后求和：
$$||Tf||2^2 = \sum{i\in I}||Tf_i||2^2 \leq M^2\sum{i\in I}||f_i||_2^2 = M^2||f||_22$$
两边开平方就得到：
$$\frac{||Tf||_2}{||f||2} \leq \sup{i\in I}\frac{||Tf_i||_2}{||f_i||_2}$$
原引理得证。

第二步：推广到任意$p\in[1,\infty)$的$L^p$空间 #

对于一般的$L^p$空间，支撑不相交的函数有类似的范数性质：范数的$p$次方等于各部分范数$p$次方之和，即：
$$||\sum_{i\in I}g_i||p^p = \sum{i\in I}||g_i||_p^p$$
这个性质的本质是积分的可加性——不同支撑的函数在积分时互不重叠，因此整个和的$p$次幂的积分可以拆成各部分$p$次幂积分的和。

同样设$M = \sup_{i\in I}\frac{||Tf_i||_p}{||f_i||_p}$，则对每个$i\in I$，有$||Tf_i||_p \leq M||f_i||_p$。将两边取$p$次方后求和：
$$||Tf||p^p = ||\sum{i\in I}Tf_i||p^p = \sum{i\in I}||Tf_i||p^p \leq M^p\sum{i\in I}||f_i||_p^p = M^p||f||_pp$$
最后两边开$p$次方，就得到推广后的结论：
$$\frac{||Tf||_p}{||f||p} \leq \sup{i\in I}\frac{||Tf_i||_p}{||f_i||_p}$$

补充说明：无穷和的收敛性 #

如果索引集$I$是无穷集，需要确认$\sum_{i\in I}Tf_i$在$L^p$中收敛到$Tf$：
因为$T$是有界线性算子，且$\sum_{i\in I}||f_i||_p^p = ||f||p^p < \infty$，所以$\sum{i\in I}||Tf_i||p^p \leq M^p\sum{i\in I}||f_i||p^p < \infty$，这说明$\sum{i\in I}Tf_i$在$L^p$中依范数收敛，而线性算子的连续性保证了极限就是$Tf$，此时范数的$p$次方求和性质依然成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cyc