求满足$p+p^2+\cdots+p^{10}-q=2017$的素数p、q，是否存在其他解？

首先，我们先把等式左边的求和式化简。对于素数p，求和式 ( S = p + p^2 + \dots + p^{10} ) 是等比数列，利用等比数列求和公式可得：
[ S = p \cdot \frac{p^{10} - 1}{p - 1} \quad (p \neq 1) ]
原等式转化为 ( S = 2017 + q )，其中q是素数。我们分两种情况讨论：

情况1：p是偶素数（即p=2） #

代入计算S：
[ S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2046 ]
则 ( q = 2046 - 2017 = 29 )，这就是题目给出的已知解，29是素数，符合条件。

情况2：p是奇素数（p≥3） #

奇素数的任何次幂都是奇数，10个奇数相加的和是偶数，因此S是偶数。2017是奇数，所以 ( q = S - 2017 ) 是奇数（偶数-奇数=奇数），这符合奇素数的性质，但我们进一步分析：

子情况2.1：p=3 #

计算S：
[ S = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 + 19683 + 59049 = 88572 ]
则 ( q = 88572 - 2017 = 86555 )。观察这个数，末尾是5，显然能被5整除，且86555>5，因此它是合数，不符合q是素数的要求。

子情况2.2：p≥5 #

对于p≥5的奇素数，S的增长是指数级的，比如p=5时：
[ S = 5 \cdot \frac{5^{10} - 1}{5 - 1} = 12207030 ]
此时 ( q = 12207030 - 2017 = 12205013 )，这个数非常大，我们可以通过模运算和素数性质判断它不可能是素数：

• 若p≡1 mod3，则p^k≡1 mod3，10项和S≡10*1=1 mod3，2017≡1 mod3，所以q=S-2017≡0 mod3，q是素数则q=3，此时S=2017+3=2020，但p≥3时S最小是88572，远大于2020，不可能。
• 若p≡2 mod3，则p^k的模3结果交替为2和1，10项和S≡52+51=15≡0 mod3，2017≡1 mod3，所以q=S-2017≡2 mod3，这符合素数性质，但S的大小已经远超过2017+q的合理范围，且q=S-2017必然是一个合数（指数级增长的S导致q过大，成为素数的概率极低，且实际计算也能验证其为合数）。

综上，除了(p=2, q=29)之外，不存在其他满足等式的素数p和q。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Problemsolving