寻找线性代数定理：线性映射的秩与任意矩阵表示的秩相等及证明

先明确几个关键定义，避免混淆：

• 设 ( T: V \to W ) 是有限维线性空间之间的线性映射，其中 ( \dim V = n )，( \dim W = m )。
• 线性映射 ( T ) 的秩，定义为它的像空间 ( \text{Im}(T) = { T(v) \mid v \in V } ) 的维数，即 ( \text{rank}(T) = \dim \text{Im}(T) )。
• 若取 ( V ) 的一组基 ( \mathcal{B} = {v_1, v_2, ..., v_n} )，( W ) 的一组基 ( \mathcal{C} = {w_1, w_2, ..., w_m} )，则 ( T ) 关于基 ( \mathcal{B}, \mathcal{C} ) 的矩阵表示 ( [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} ) 是一个 ( m \times n ) 矩阵：它的第 ( j ) 列，就是 ( T(v_j) ) 在基 ( \mathcal{C} ) 下的坐标向量。

证明过程 #

第一步：像空间与矩阵列空间维数相等 #

我们可以建立 ( \text{Im}(T) ) 和矩阵 ( [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} ) 的列空间 ( \text{Col}([T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}) ) 之间的同构映射，而同构的线性空间维数必然相等。

具体来说：

• 对任意 ( v \in V )，设 ( v = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n )（这是 ( v ) 在基 ( \mathcal{B} ) 下的线性表示），那么根据线性映射的性质：
  [
  T(v) = a_1T(v_1) + a_2T(v_2) + ... + a_nT(v_n)
  ]
• 记 ( [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} ) 的第 ( j ) 列为 ( c_j )（也就是 ( T(v_j) ) 在基 ( \mathcal{C} ) 下的坐标），那么 ( T(v) ) 在基 ( \mathcal{C} ) 下的坐标向量就是 ( a_1c_1 + a_2c_2 + ... + a_nc_n )——这恰好是矩阵 ( [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} ) 与向量 ( (a_1,a_2,...,a_n)^T ) 的乘积。
• 定义映射 ( \phi: \text{Im}(T) \to \text{Col}([T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}) )，其中 ( \phi(T(v)) = [T(v)]{\mathcal{C}} )（即 ( T(v) ) 在基 ( \mathcal{C} ) 下的坐标向量）。
  • ( \phi ) 是线性映射：因为线性映射的坐标变换也保持线性性。
  • ( \phi ) 是满射：列空间中的任意向量都是矩阵列的线性组合，对应到像空间中就是 ( T(v_j) ) 的线性组合，显然属于 ( \text{Im}(T) )。
  • ( \phi ) 是单射：如果 ( \phi(T(v)) = 0 )，说明 ( T(v) ) 在基 ( \mathcal{C} ) 下的坐标全为0，而基向量线性无关，所以 ( T(v) = 0 )。

既然 ( \phi ) 是同构，那么 ( \dim \text{Im}(T) = \dim \text{Col}([T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}) )，而矩阵的秩就是其列空间的维数，所以 ( \text{rank}(T) = \text{rank}([T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}) )。

第二步：换基不改变矩阵表示的秩 #

你可能会问：如果换一组基，得到的矩阵不一样，秩还会相等吗？答案是肯定的，因为换基后的矩阵和原矩阵是等价矩阵，而等价矩阵的秩相同。

具体来说：

• 若将 ( V ) 的基换成 ( \mathcal{B}' )，( W ) 的基换成 ( \mathcal{C}' )，则新的矩阵表示满足：
  [
  [T]{\mathcal{B}'}^{\mathcal{C}'} = P \cdot [T]{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot Q^{-1}
  ]
  其中 ( P ) 是 ( W ) 中基 ( \mathcal{C} ) 到 ( \mathcal{C}' ) 的过渡矩阵，( Q ) 是 ( V ) 中基 ( \mathcal{B} ) 到 ( \mathcal{B}' ) 的过渡矩阵——这两个矩阵都是可逆的（因为过渡矩阵是基之间的变换，必然可逆）。
• 可逆矩阵可以分解为初等矩阵的乘积，而初等行/列变换不会改变矩阵的秩。因此，左乘或右乘可逆矩阵后，矩阵的秩保持不变。

这意味着，不管选取哪组基来构造矩阵表示，它的秩都和第一次得到的矩阵秩相等，也就等于线性映射的秩。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust