函数相等定义为何要求陪域相等？相关合理性疑问

这是个特别好的问题——很多刚接触函数严格数学定义的人都会有这个直觉上的困惑！我们先拆解一下这个问题的核心：为什么明明两个函数的输入输出对应完全一致，仅仅因为陪域不同，就被定义为不同的函数？

从集合论的标准定义说起 #

在标准的集合论框架里，函数被定义为一个三元组：$(A, B, F)$，其中：

• $A$ 是定义域，
• $B$ 是陪域，
• $F$ 是从 $A$ 到 $B$ 的“满足单值性”的关系（也就是每个 $a \in A$ 都对应唯一的 $b \in B$）。

按照这个定义，三元组里的任何一个部分不同，函数就不相等。所以你举的例子中：

• $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2$ 对应的三元组是 $(\mathbb{R}, \mathbb{R}, {(x, x^2) | x \in \mathbb{R}})$
• $g: \mathbb{R} \to {x \in \mathbb{R} | x \geq 0}, g(x)=x^2$ 对应的三元组是 $(\mathbb{R}, {x \in \mathbb{R} | x \geq 0}, {(x, x^2) | x \in \mathbb{R}})$

因为第二个元素（陪域）不同，所以这两个三元组是不同的，自然函数也就不相等。

为什么要把陪域纳入定义？ #

你可能会问：既然输入输出的对应关系完全一样，为什么要纠结陪域？这其实和数学中一些关键概念的严谨性有关：

• 满射的定义依赖陪域：如果不区分陪域，“满射”这个概念就失去了意义——因为任何函数对它自己的像集都是满的。只有当我们指定了陪域，才能说“这个函数是否把定义域的元素映射到了陪域的每一个角落”。比如你的例子里，$g$ 是满射（它的像集等于陪域），但 $f$ 不是（像集只是陪域的一部分）。
• 函数复合的合法性：当我们复合两个函数时，前一个函数的陪域需要和后一个函数的定义域兼容。比如如果有一个函数 $h: {x \in \mathbb{R} | x \geq 0} \to \mathbb{R}, h(y)=\sqrt{y}$，那么 $h \circ g$ 是直接合法的，但 $h \circ f$ 其实需要额外说明“我们只考虑 $f$ 的像集部分”——陪域的存在让这种复合的前提更清晰。
• 数学分支的需求：在范畴论等更侧重“对象间映射关系”的领域，函数（态射）的本质是连接两个对象（定义域和陪域）的箭头，不同的箭头（即使行为一致）连接不同的对象，就是不同的态射。这种定义能更好地描述对象之间的结构关系。

你的直觉并没有错！ #

我们日常直觉里觉得“这两个函数相等”，其实是关注函数的图像（也就是所有输入输出对的集合）。在一些语境下，确实会把函数的图像当作函数本身——这时候你的例子里 $f$ 和 $g$ 就是同一个函数。

只是在基础数学的严格定义中，把陪域纳入进来，是为了保留更多有用的数学结构和概念，让我们能更精确地描述函数的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者frog1944