撰写代数拓扑习题解答卡壳：证明f:RP²→R⁴的单射性

我太懂这种卡题的滋味了——对着射影空间的单射证明死磕直接定义，结果越绕越懵，完全陷进去。咱们换个思路，从射影空间的本质和等式拆解入手，一步步理清：

• 抓住射影空间的核心定义：RP²里的每个点都是R³中非零向量的等价类{x, -x}，所以要证f是单射，本质就是要证明：如果f({x,-x}) = f({y,-y})，那么{x,-x} = {y,-y}——换句话说，存在λ=±1，使得y=λx。
• 展开等式，拆分条件：把f的定义代入等式，得到四个分量相等：
  1. x₁² - x₂² = y₁² - y₂²
  2. x₁x₂ = y₁y₂
  3. x₁x₃ = y₁y₃
  4. x₂x₃ = y₂y₃
• 先处理前两个等式，锁定(x₁,x₂)与(y₁,y₂)的关系：
  我们可以通过平方和的技巧来推导：计算(x₁² + x₂²)²，会发现：
  (x₁² + x₂²)² = (x₁² - x₂²)² + 4(x₁x₂)²
  代入前两个等式的右边，就等于(y₁² - y₂²)² + 4(y₁y₂)² = (y₁² + y₂²)²
  因为平方都是非负的，所以x₁² + x₂² = y₁² + y₂²。结合第一个等式，就能直接推出x₁² = y₁²、x₂² = y₂²。再看第二个等式x₁x₂ = y₁y₂，这说明(x₁,x₂)要么和(y₁,y₂)完全相等，要么就是(-y₁,-y₂)。
• 结合后两个等式，把x₃和y₃的关系补全：
  分两种情况讨论：
  1. 情况1：(x₁,x₂) = (y₁,y₂)
     • 如果x₁≠0，第三个等式x₁x₃ = y₁y₃直接化简为x₃=y₃；
     • 如果x₁=0，那x₂肯定≠0（因为等价类里的向量是非零的），代入第四个等式x₂x₃ = y₂y₃，同样得到x₃=y₃。
       所以此时x=y，属于同一个等价类。
  2. 情况2：(x₁,x₂) = (-y₁,-y₂)
     • 如果y₁≠0，第三个等式x₁x₃ = y₁y₃变成-y₁x₃ = y₁y₃，两边约去y₁得到x₃=-y₃；
     • 如果y₁=0，那y₂≠0，代入第四个等式x₂x₃ = y₂y₃变成-y₂x₃ = y₂y₃，约去y₂也得到x₃=-y₃。
       所以此时x=-y，同样属于同一个等价类。
• 收尾结论：不管哪种情况，f映射到同一个点的两个等价类必然是同一个，这就证明了f是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者YBibbyB