三角形几何不等式：非共线O、I、H的△OIH外接圆半径不等式证明

咱们来梳理一下这个几何问题的证明进展和思路：

问题背景 #

给定△ABC，其外心为O、内心为I、垂心为H，且O、I、H三点不共线。需要证明：$2R_{OIH} > R_{ABC}$，其中$R_{ABC}$是△ABC的外接圆半径，$R_{OIH}$是△OIH的外接圆半径。目前咱们只完成了钝角或直角三角形情况的证明，还需要进一步完善锐角三角形的部分。

已有的推导步骤 #

• 已知在目标情形下$\angle OIH > 90^\circ$，根据三角函数性质，显然有$\sin\angle OIH < 1$
• 对△OIH应用正弦定理，可以得到如下关系式：
  $$\dfrac{OH}{\sin\angle OIH} = 2R_{OIH}$$
• 把这个式子代入原不等式，就能将需要证明的$2R_{OIH} > R_{ABC}$转化为更易处理的形式：
  $$\dfrac{OH}{\sin\angle OIH} > R_{ABC}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tanny Sieben