关于开口圆柱在分层液体中排开第二种液体体积的浮力疑问

首先咱们先把核心逻辑理清楚：浮力的本质是液体对物体的压力差，而根据阿基米德原理，浮力等于物体排开的对应液体的重量。针对你这个开口圆柱的情况，关键要区分「圆柱固体部分」和「内部连通的液体」——因为圆柱顶部开口，内部的$\rho_2$液体和外部上层的$\rho_2$液体是完全连通的，这部分液体不能算作圆柱的一部分，而是和外部液体融为一体。

一、哪部分排开第二种液体（$\rho_2$）产生浮力？ #

答案是：圆柱位于$\rho_2$液体层中的环形固体部分（也就是外壁和内壁之间的空心圆柱段）。

具体来说：

• 圆柱的固体结构是环形截面，面积为$S = \frac{\pi}{4}(l_2^2 - l_1^2)$（$l_2$是外径，$l_1$是内径）。
• 假设圆柱浸入$\rho_2$液体的高度为$h_2$，浸入$\rho_1$液体的高度为$h_1$，那么排开$\rho_2$液体的体积就是$V_{排2} = S \times h_2$——这是因为圆柱内部的$l_1$区域充满了$\rho_2$液体，这部分体积本来就是液体的一部分，没有被圆柱「排开」，只有环形的固体部分占据了$\rho_2$液体的空间，才是真正的排开体积。

二、液体₂提供的浮力怎么计算？ #

根据阿基米德原理，$\rho_2$液体对圆柱的浮力$F_{浮2}$等于排开$\rho_2$液体的重量：
$$F_{浮2} = \rho_2 g V_{排2} = \rho_2 g \times \frac{\pi}{4}(l_2^2 - l_1^2) h_2$$

从受力角度理解：

• 圆柱在$\rho_2$层的环形外壁，会受到$\rho_2$液体向上的压力；而内壁因为接触的是内部连通的$\rho_2$液体，会受到向下的压力。两者的压力差，就是$\rho_2$液体提供的向上浮力，这个差值正好等于排开$\rho_2$液体的重量。

三、补充整体平衡验证（帮你彻底理清） #

圆柱的总重力是其固体部分的重量：
$$G = \rho g \times \frac{\pi}{4}(l_2^2 - l_1^2)(h_1 + h_2)$$

而总浮力是$\rho_1$和$\rho_2$液体提供的浮力之和：
$$F_{浮总} = F_{浮1} + F_{浮2} = \rho_1 g \times \frac{\pi}{4}(l_2^2 - l_1^2)h_1 + \rho_2 g \times \frac{\pi}{4}(l_2^2 - l_1^2)h_2$$

漂浮时总重力等于总浮力，化简后得到：
$$\rho(h_1 + h_2) = \rho_1 h_1 + \rho_2 h_2$$
进一步整理可得高度比：
$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho}$$
这个结果完全符合分层液体中漂浮物体的受力规律，也能反过来验证我们对排开体积和浮力的分析是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mr. Xcoder