基于归纳法证明求和与组合数等式：∑ₘ=2ⁿ C(m,2)=C(n+1,3)（n≥2）

嘿，这道组合数求和的证明题用数学归纳法来做非常直观，我来一步步拆解给你看：

1. 验证基础情况（n=2） #

首先从最小的符合条件的n开始验证：

• 左边求和式：$\sum_{m=2}^2 \binom{m}{2} = \binom{2}{2} = 1$
• 右边组合数：$\binom{2+1}{3} = \binom{3}{3} = 1$

左边和右边相等，所以n=2时等式成立。

2. 设定归纳假设 #

假设当n=k（k是≥2的正整数）时，等式成立，也就是：
$$\sum_{m=2}^k \binom{m}{2} = \binom{k+1}{3}$$

这个假设是我们后续推导的基础，接下来要证明当n=k+1时等式也成立。

3. 归纳步骤推导（n=k+1） #

我们需要证明：
$$\sum_{m=2}^{k+1} \binom{m}{2} = \binom{(k+1)+1}{3} = \binom{k+2}{3}$$

先把左边的求和式拆分成两部分：
$$\sum_{m=2}^{k+1} \binom{m}{2} = \sum_{m=2}^k \binom{m}{2} + \binom{k+1}{2}$$

根据我们的归纳假设，$\sum_{m=2}^k \binom{m}{2}$可以替换成$\binom{k+1}{3}$，代入后左边变成：
$$\binom{k+1}{3} + \binom{k+1}{2}$$

这里用到组合数的核心恒等式——帕斯卡恒等式：$\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$。把n=k+1，r=3代入，就能得到：
$$\binom{k+1}{3} + \binom{k+1}{2} = \binom{(k+1)+1}{3} = \binom{k+2}{3}$$

这正好等于我们要证明的右边，所以n=k+1时等式也成立。

4. 结论 #

根据数学归纳法的原理，既然基础情况成立，且如果n=k时成立能推出n=k+1时也成立，那么对于所有≥2的正整数n，等式$\sum_{m=2}^n \binom{m}{2} = \binom{n+1}{3}$都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peetrius