所有二元函数能否表示为单变量函数乘积的和？

这个问题问得非常好——本质上是在问二元函数空间能不能被单变量函数的乘积“张满”。咱们分情况说清楚：

1. 如果允许无限项的乘积之和 #

答案是：对绝大多数我们常用的函数类（比如连续函数、勒贝格可测函数），或者更一般地，当你考虑逐点收敛的无限和时，所有二元函数都可以表示成这种形式。

举个直观的例子：对于实数域上的二元函数$a(x,y)$，你可以把它看成是关于$x$的函数族（每个$y$对应一个$x$的函数）。如果我们取$x$的一组“基函数”——比如所有形如$\delta_{x_0}(x)$的狄拉克函数（当$x=x_0$时取1，否则0），那任何$a(x,y)$都可以写成$\sum_{x_0} \delta_{x_0}(x) \cdot a(x_0,y)$，这就是单变量$x$的函数（$\delta_{x_0}(x)$）和单变量$y$的函数（$a(x_0,y)$）的乘积之和（这里是无限项，对应所有$x_0 \in \mathbb{R}$）。

对于连续函数，Stone-Weierstrass定理更严谨地告诉我们：闭区间上的连续二元函数可以用多项式一致逼近，而多项式本身就是$x$的单项式和$y$的单项式的乘积之和（比如$x^2y + 3xy^2 + \dots$），所以自然可以表示成这种形式。

2. 如果只允许有限项的乘积之和 #

答案是：不行，存在大量二元函数无法写成有限个单变量乘积的和。

最经典的反例是**二元函数$a(x,y) = e^{{xy}$**。假设它能写成有限项：$e}{xy} = \sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(y)$，那我们对$x$求$n+1$阶导数，左边会得到$y^{n+1}e{xy}$，右边呢？每个$f_k(x)$求$n+1$阶导数后，右边会是$\sum_{k=1}^n f_k^{{(n+1)}(x)g_k(y)$。但左边的$y}{n+1}e^{{xy}$无法表示成$n$个$y$的函数和$x$的函数的乘积之和——因为$y$的多项式次数超过了$n$，而右边每个项都是$y$的函数乘以$x$的函数，它们张成的空间维度最多是$n$，无法容纳$y}{n+1}$这样的项。

再换个更接地气的场景：如果我们考虑实数域上的所有函数，有限乘积和的空间只是整个空间的一个极小的子空间，绝大多数函数都不在里面。

总结 #

• 允许无限项（或在合适的拓扑下取闭包）：是的，绝大多数常用的二元函数都能表示成这种形式，甚至任意二元函数在逐点收敛意义下都可以。
• 只允许有限项：不行，存在大量函数无法做到。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John A.