寻求与环面$T^2=S^1 \times S^1$同调相同、同伦不同的拓扑空间$X$

嘿，这个问题其实挺经典的，我来给你拆解清楚！**$S^2 \vee S^1 \vee S^1$（二维球面和两个圆周的楔和）**就是一个完美的候选者，咱们一步步来看：

一、为什么它和$T^2$有完全相同的同调群？ #

首先先明确环面$T^2 = S^1 \times S^1$的同调群：

• $H_0(T^2) = \mathbb{Z}$（连通空间的0维同调群都是整数群）
• $H_1(T^2) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$（两个圆周的同调群直和）
• $H_2(T^2) = \mathbb{Z}$（环面作为闭曲面的2维同调群）
• 所有更高维（$n \geq 3$）的同调群都是$0$

再看$S^2 \vee S^1 \vee S^1$的同调群：
对于连通空间的楔和，有个关键结论：正维数的同调群等于各空间对应维数同调群的直和，0维同调群依然是$\mathbb{Z}$（因为整个空间是连通的）。

• $H_0 = \mathbb{Z}$（连通性保证）
• $H_1 = H_1(S^2) \oplus H_1(S^1) \oplus H_1(S^1) = 0 \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$
• $H_2 = H_2(S^2) \oplus H_2(S^1) \oplus H_2(S^1) = \mathbb{Z} \oplus 0 \oplus 0 = \mathbb{Z}$
• 更高维：$S^2$的$n \geq 3$维同调群是0，$S^1$的$n \geq 2$维同调群也是0，所以直和后更高维同调群全为0

你看，和环面的同调群完全匹配！

二、为什么它们的同伦型一定不同？ #

判断同伦型是否相同，基本群是个非常好用的不变量——同伦等价的空间，基本群必然同构。咱们对比一下两者的基本群：

• 环面的基本群：根据乘积空间的基本群公式，$\pi_1(T^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，这是一个交换群（整数的直和，乘法交换）。
• $S^2 \vee S^1 \vee S^1$的基本群：用Seifert-van Kampen定理，楔和的基本群是各空间基本群的自由乘积。因为$\pi_1(S^{2)$是平凡群（球面是单连通的），所以$\pi_1(S}2 \vee S^1 \vee S^1) = \pi_1(S^1) * \pi_1(S^1) = \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$，这是一个非交换的自由群（比如生成元$a$和$b$，$ab \neq ba$）。

一个交换群和一个非交换群显然不可能同构，所以这两个空间绝对不可能有相同的同伦型。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者joseabp91