复变函数(z+1)/(z-1)的x、y轴映射规则求解咨询

咱们一步一步来拆解这个分式线性变换的映射问题，先明确基本设定：设复变量$z=x+iy$，映射后的像为$w=u+iv$，核心就是把坐标轴上的点代入函数，分离实部虚部，分析像的轨迹。

1. x轴的映射情况 #

x轴上的所有点满足$y=0$，也就是$z=x$（$x$是实数，注意$x≠1$，因为$z=1$是函数的奇点，函数在这一点无定义）。把$z=x$代入函数：

$$w=\frac{x+1}{x-1}$$

因为分子分母都是实数，所以$w$的虚部$v=0$，说明x轴上的点映射后都落在$w$平面的实轴（也就是u轴）上。接下来分析取值范围：

• 当$x$从$-∞$趋近到1时，$x-1$从$-∞$趋近到0，$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，这时候$\frac{2}{x-1}$从0趋近到$-∞$，所以$w$从1趋近到$-∞$；
• 当$x$从1趋近到$+∞$时，$x-1$从0趋近到$+∞$，$\frac{2}{x-1}$从$+∞$趋近到0，所以$w$从$+∞$趋近到1。

有没有可能取到$w=1$？假设$\frac{x+1}{x-1}=1$，解方程得$x+1=x-1$，显然$1=-1$不成立，所以$w=1$是取不到的。

结论：x轴映射到除了点$(1,0)$以外的整个实轴。

2. y轴的映射情况 #

y轴上的所有点满足$x=0$，也就是$z=iy$（$y$是实数，y轴上不存在$z=1$这个奇点，所以$y$可以取任意实数）。把$z=iy$代入函数：

$$w=\frac{1+iy}{-1+iy}$$

为了分离实部和虚部，我们对分母有理化，分子分母同时乘以分母的共轭复数$-1-iy$：

$$
\begin{align*}
w&=\frac{(1+iy)(-1-iy)}{(-1+iy)(-1-iy)}\
&=\frac{-(1+iy)^2}{(-1)2 - (iy)^2}\
&=\frac{-(1 + 2iy + i^2y2)}{1 + y^2}\
&=\frac{-(1 - y^2 + 2iy)}{1 + y^2}\
&=\frac{y^2 - 1}{y^2 + 1} + i\frac{-2y}{y^2 + 1}
\end{align*}
$$

所以映射后的实部$u=\frac{y^2 - 1}{y^2 + 1}$，虚部$v=\frac{-2y}{y^2 + 1}$。现在我们来寻找$u$和$v$的关系，计算$u^2 + v^2$：

$$
\begin{align*}
u^2 + v^{2&=\left(\frac{y}2 - 1}{y^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{-2y}{y^2 + 1}\right)^2\
&=\frac{(y^2 - 1)^2 + (2y)^2}{(y2 + 1)^2}\
&=\frac{y^4 - 2y^2 + 1 + 4y^2}{(y2 + 1)^2}\
&=\frac{y^4 + 2y^2 + 1}{(y^2 + 1)^2}\
&=\frac{(y^2 + 1)^2}{(y2 + 1)^2}\
&=1
\end{align*}
$$

这说明映射后的点$(u,v)$满足单位圆方程$u^2 + v^2=1$。接下来看能不能取到单位圆上的所有点：

假设存在$y$使得$u=1$，$v=0$，代入$u$的表达式得$\frac{y^2 - 1}{y^2 + 1}=1$，解得$y^2 -1 = y^2 +1$，即$-1=1$，显然无解，所以点$(1,0)$取不到。

再验证几个特殊点：

• 当$y=0$时，$w=\frac{1}{-1}=-1$，对应单位圆上的点$(-1,0)$；
• 当$y=1$时，$w=\frac{1+i}{-1+i}=\frac{(1+i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-2i}{2}=-i$，对应单位圆上的$(0,-1)$；
• 当$y=-1$时，$w=\frac{1-i}{-1-i}=\frac{(1-i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=\frac{2i}{2}=i$，对应单位圆上的$(0,1)$。

结论：y轴映射到除了点$(1,0)$以外的单位圆。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SteveK3223