拓扑学局部欧几里得性质：乘积空间与n维球面证明问询

Hey there! Let's work through these two topology questions using the definition of locally Euclidean spaces you've got. First, let's restate the definition clearly for reference:

定义：若存在$n \in \mathbb{N}$，使得拓扑空间$X$中的任意点$x$都有一个邻域$U$同胚于$\mathbb{R}^n$的某个开子集$V$，则称$X$是局部欧几里得空间。

问题1：证明$X \times Y$是局部欧几里得空间 #

假设$X$是$n$-维局部欧几里得空间，$Y$是$m$-维局部欧几里得空间（each has their own corresponding natural number from the definition）。我们验证$X \times Y$满足局部欧几里得的条件：

• 任取$X \times Y$中的一点$(x, y)$。
• 因为$X$是局部欧几里得，$x$在$X$中有邻域$U$，且存在同胚$f: U \to V$，其中$V$是$\mathbb{R}^n$的开子集。
• 同理，$y$在$Y$中有邻域$U'$，且存在同胚$g: U' \to V'$，其中$V'$是$\mathbb{R}^m$的开子集。
• 在乘积拓扑中，$U \times U'$是$(x, y)$在$X \times Y$中的邻域（开集的乘积是乘积拓扑中的开集）。
• 考虑映射$f \times g: U \times U' \to V \times V'$，这个映射是同胚：双射性由$f$和$g$的双射性保证，连续性和逆连续性由乘积映射的性质（连续映射的乘积连续，同胚的乘积也是同胚）可得。
• 而$V \times V'$是$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m = \mathbb{R}^{n+m}$的开子集（两个欧氏空间开子集的乘积是更高维欧氏空间的开子集）。

这样，$X \times Y$中的每个点都有邻域同胚于$\mathbb{R}^{n+m}$的开子集，所以$X \times Y$是$(n+m)$-维局部欧几里得空间。

问题2：证明$n$维球面$S^n$是局部欧几里得空间 #

经典的方法是用球极投影，这是证明球面局部欧几里得的标准技巧：

首先，$S^{n$定义为$\mathbb{R}}{n+1}$中满足$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n+1}^2 = 1$的所有点的集合，赋予子空间拓扑。

我们定义两个覆盖$S^{n$的开集，每个都同胚于$\mathbb{R}}n$：

1. 北极点补集：令$N = (0, 0, \dots, 0, 1)$（北极点），考虑$S^n \setminus {N}$。定义球极投影$\phi: S^n \setminus {N} \to \mathbb{R}^n$：
   对于任意点$p = (p_1, p_2, \dots, p_n, p_{n+1}) \in S^n \setminus {N}$，将$p$与$N$连线，这条线会和$\mathbb{R}^n$（即$x_{n+1}=0$的超平面）交于一点，其坐标为：
   $$\phi(p) = \left( \frac{p_1}{1 - p_{n+1}}, \frac{p_2}{1 - p_{n+1}}, \dots, \frac{p_n}{1 - p_{n+1}} \right)$$
   这个映射是同胚：它的逆映射$\phi^{-1}: \mathbb{R}^n \to S^n \setminus {N}$为：
   $$\phi^{-1}(q) = \left( \frac{2q_1}{1 + |q|^2}, \dots, \frac{2q_n}{1 + |q|^2}, \frac{|q|^2 - 1}{1 + |q|^2} \right)$$
   你可以验证$\phi^{{-1}(q)$确实在$S}n$上，且$\phi$和$\phi^{-1}$都是连续的双射。

2. 南极点补集：令$S = (0, 0, \dots, 0, -1)$（南极点），同理定义从$S^n \setminus {S}$到$\mathbb{R}^n$的球极投影，同样是同胚。

现在，$S^{n$中的每个点要么属于$S}n \setminus {N}$（此时它的邻域可以取整个$S^n \setminus {N}$，同胚于$\mathbb{R}^{n$，而$\mathbb{R}}n$是自身的开子集），要么属于$S^n \setminus {S}$（同理）。这就满足了局部欧几里得空间的定义，维度为$n$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem