不用构造双射证明n元集的偶、奇基数子集数量相等

我需要证明一个结论：每个n-元集的偶基数子集与奇基数子集数量相等，而且要求不需要构造双射。

具体来讲，我要证明的核心是：有限集的偶基数子集和奇基数子集的数量始终是相等的。

当n为奇数时，这个结论其实很好推导——每个偶基数子集都能唯一对应一个奇基数子集，反之亦然；但当n为偶数时，这种对应论证就不再成立了。

我之前查阅过相关的解答，但这些解答全都是通过构造双射来完成证明的，这类双射对我而言实在难以理解。所以想请教一下：是否存在组合或代数方法来完成这个证明？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aemilius