利用二重积分求x轴转动惯量：积分限转换问题咨询

嘿，我来帮你搞定这个问题！你纠结的把$x=2y-y^2$转成$y$关于$x$的形式其实用二次方程求根公式就能解决，咱们一步步拆解：

先把方程整理成标准二次方程形式：
y² - 2y + x = 0
套用二次方程求根公式y = [-b ± √(b²-4ac)]/(2a)，这里$a=1$，$b=-2$，$c=x$，代入后得到：
y = [2 ± √(4 - 4x)]/2 = 1 ± √(1 - x)

注意：这两个解里，$y=1+√(1-x)$对应的$y$值始终大于1（因为$\sqrt{1-x}≥0$），而我们的积分区域是两条曲线在$y∈[0,1]$之间围成的，所以这个解不在我们的目标范围内，只需要保留**$y=1-√(1-x)$**作为下方边界。

联立两条曲线$x=2y-y^2$和$x=y2$求交点：
$y^2=2y-y2 → 2y²-2y=0 → 2y(y-1)=0$
解得$y=0$和$y=1$，对应$x=0$和$x=1$，所以交点是$(0,0)$和$(1,1)$。

关于x轴的转动惯量公式是：
I_x = ∬_D y²ρ(x,y) dσ
已知密度$\rho(x,y)=y+1$，代入后得到：
I_x = ∬_D y²(y+1) dσ = ∬_D (y³ + y²) dσ

这里提供两种积分顺序的计算方式，其中第一种更简便：

方法1：先对x积分，后对y积分（无需转换y的表达式） #

• $y$的取值范围：$0 ≤ y ≤ 1$
• 对每个固定的$y$，$x$的下限是$x=y^{2$，上限是$x=2y-y}2$

积分表达式为：

I_x = ∫(y=0到1) ∫(x=y²到2y-y²) (y³ + y²) dx dy

先计算内层对$x$的积分（把$y$看作常数）：
$\int_{y²}^{2y-y²} (y³ + y²) dx = (y³ + y²) \cdot [(2y - y²) - y²] = (y³ + y²)(2y - 2y²) = 2y³(1 - y²)$

再计算外层对$y$的积分：
$I_x = \int_{0}^{1} 2y³(1 - y²) dy = 2\int_{0}^{1} (y³ - y⁵) dy = 2\left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^6}{6} \right]_0^1 = 2 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$

方法2：先对y积分，后对x积分（用到转换后的y表达式） #

• $x$的取值范围：$0 ≤ x ≤ 1$
• 对每个固定的$x$，$y$的下限是$y=1-√(1-x)$，上限是$y=√x$

积分表达式为：

I_x = ∫(x=0到1) ∫(y=1-√(1-x)到√x) (y³ + y²) dy dx

先计算内层对$y$的积分：
$\int_{1-√(1-x)}^{√x} (y³ + y²) dy = \left[ \frac{y^4}{4} + \frac{y^3}{3} \right]_{1-√(1-x)}^{√x}$
这个计算过程会繁琐一些，但最终结果和方法1一致，也是$\frac{1}{6}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Danny Colautti