积分运算步骤疑问：分式拆分至对数积分的中间步骤求解

这其实是部分分式分解的经典应用，我一步步给你拆解清楚：

• 步骤1：分母因式分解
  首先，我们把被积函数的分母用平方差公式分解：
  $$u^2 - 2 = u^2 - (\sqrt{2})^2 = (u - \sqrt{2})(u + \sqrt{2})$$
  所以原积分可以写成：
  $$\int \frac{du}{(u - \sqrt{2})(u + \sqrt{2})}$$

• 步骤2：设部分分式形式
  我们假设这个分式可以拆成两个简单分式的和：
  $$\frac{1}{(u - \sqrt{2})(u + \sqrt{2})} = \frac{A}{u - \sqrt{2}} + \frac{B}{u + \sqrt{2}}$$
  其中$A$和$B$是我们需要求解的常数。

• 步骤3：通分并匹配分子
  把右边的两个分式通分，得到：
  $$\frac{A(u + \sqrt{2}) + B(u - \sqrt{2})}{(u - \sqrt{2})(u + \sqrt{2})}$$
  因为左右两边的分母相同，所以分子必须相等：
  $$1 = A(u + \sqrt{2}) + B(u - \sqrt{2})$$

• 步骤4：求解常数A和B
  我们可以用赋值法快速求出A和B：

  • 令$u = \sqrt{2}$，代入上式：
    $$1 = A(\sqrt{2} + \sqrt{2}) + B(\sqrt{2} - \sqrt{2}) \implies 1 = 2\sqrt{2}A \implies A = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$
  • 令$u = -\sqrt{2}$，代入上式：
    $$1 = A(-\sqrt{2} + \sqrt{2}) + B(-\sqrt{2} - \sqrt{2}) \implies 1 = -2\sqrt{2}B \implies B = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

• 步骤5：代入拆分后的分式
  把A和B代入我们假设的部分分式中，得到：
  $$\frac{1}{u^2 - 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{u - \sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{u + \sqrt{2}}$$
  提取公因子$\frac{1}{2\sqrt{2}}$后，就是：
  $$\frac{1}{u^2 - 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{1}{u - \sqrt{2}} - \frac{1}{u + \sqrt{2}} \right)$$

• 步骤6：逐项积分得到结果
  利用基本积分公式$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$，对拆分后的式子逐项积分：
  $$\int \frac{du}{u^2 - 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \int \frac{du}{u - \sqrt{2}} - \int \frac{du}{u + \sqrt{2}} \right)$$
  计算后得到：
  $$\frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \ln|u - \sqrt{2}| - \ln|u + \sqrt{2}| \right) + C$$
  再根据对数的性质$\ln a - \ln b = \ln\left|\frac{a}{b}\right|$，化简为：
  $$\frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left| \frac{u - \sqrt{2}}{u + \sqrt{2}} \right| + C$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LearningMath