利用牛顿冷却定律（微分方程）求解房间温度的技术问询

咱们一步步来拆解这个问题，用给定的牛顿冷却定律公式就能搞定。已知解的形式是 T(t) = Tm + (T0 - Tm)e^(kt)，其中 T0=40℉ 是初始温度，Tm 是我们要找的房间温度，k<0 是常数，t 是时间。

设两次测量的时间间隔为 t₁，那么我们有三个关键时刻的温度数据：

• T(0) = 40（初始温度）
• T(t₁) = 46（第一次测量温度）
• T(2t₁) = 51（第二次测量，和第一次间隔相同时长）

步骤1：写出对应时刻的温度方程 #

把 t=t₁ 代入公式：

Tm + (40 - Tm)e^(kt₁) = 46 ——（方程1）

把 t=2t₁ 代入公式：

Tm + (40 - Tm)e^(2kt₁) = 51 ——（方程2）

步骤2：换元简化方程 #

令 x = e^(kt₁)，因为 k<0，所以 0<x<1（温度在上升，说明房间温度比冷饮高，指数项随时间衰减）。

从方程1解出 x：
(40 - Tm)x = 46 - Tm → x = (46 - Tm)/(40 - Tm)

注意 e^(2kt₁) = (e^(kt₁))² = x²，所以方程2可以改写为：
(40 - Tm)x² = 51 - Tm

步骤3：代入求解 Tm #

把 x 的表达式代入上面的变形方程：
(40 - Tm) * [(46 - Tm)/(40 - Tm)]² = 51 - Tm

两边约掉 (40 - Tm)（因为房间温度肯定高于51℉，所以 40-Tm≠0，可以安全约掉）：
(46 - Tm)²/(40 - Tm) = 51 - Tm

两边同乘 (40 - Tm)：
(46 - Tm)² = (51 - Tm)(40 - Tm)

现在展开两边：
左边：46² - 92Tm + Tm² = 2116 - 92Tm + Tm²
右边：51*40 - 51Tm -40Tm + Tm² = 2040 - 91Tm + Tm²

两边消去 Tm²，整理后得到：
2116 - 92Tm = 2040 - 91Tm
2116 - 2040 = 92Tm - 91Tm
76 = Tm

验证结果 #

咱们来核对一下这个结果是否正确：

• x = (46-76)/(40-76) = (-30)/(-36) = 5/6
• x² = 25/36
• T(2t₁) = 76 + (40-76)*(25/36) = 76 + (-36)*(25/36) = 76-25=51，完全符合题目给出的第二次测量温度。

所以房间温度是 76℉。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fadi Musleh