是否存在满足指定整数取值与极限条件的函数$f(x)$？

当然有啦，我们只需要满足你提出的三个条件就行，我给你举几个直观的例子：

最简单的分段函数（不连续版） #

随便选一个整数，比如$a=5$，我们这么定义$f(x)$：

• 当$x$是1到4之间的整数（也就是1、2、3、4）时，$f(x)=0$；
• $f(5)=1$；
• 当$x > 5$的时候，不管$x$是整数还是非整数，$f(x)=1$；
• 对于$x < 1$的情况，随便定义（比如都取0），不影响核心条件。

这个函数完全符合要求：$f(5)=1$，1到4的整数取值都是0，而且当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$恒等于1，极限自然是1。

平滑过渡的连续函数版 #

如果想要一个连续的函数，也很容易构造：还是选$a=5$，定义：

• 当$x$是1到4的整数时，$f(x)=0$；
• 对于$x \in [4,5]$，让$f(x)$从0线性过渡到1，也就是$f(x)=x-4$；
• 当$x > 5$时，定义$f(x)=1 - \frac{1}{x-4}$，这样当$x$趋近于无穷大时，$\frac{1}{x-4}$趋近于0，$f(x)$就趋近于1；
• $x < 1$时同样随便定义（比如取0）。

这个函数不仅满足所有条件，还是连续的，看起来更“光滑”。

核心思路总结 #

其实关键在于：我们只需要控制整数点的取值满足前两个条件，然后让$x$足够大的时候，函数值能稳定地趋近于1就行——不管是直接取1，还是用一个逐渐逼近1的表达式，都可以实现。只要保证无穷远处的极限是1，中间的过渡方式完全可以灵活选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sam Elting