逆函数定理证明疑问：x₀能否取0值的困惑

嘿，我来帮你把这个点捋明白！

首先，把你提到的等式换个视角看，会更容易理解：
$$\sum^n_{i=1}-2(f_i(x_0) - y_i) \frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) = 0 \quad (j=1,2,...,n)$$
这个式子其实可以写成行向量与雅可比矩阵相乘等于零向量的形式：
设行向量 $\mathbf{v} = \left( f_1(x_0)-y_1,\ f_2(x_0)-y_2,\ ...,\ f_n(x_0)-y_n \right)$，雅可比矩阵 $Df(x_0)$ 的第 $j$ 列是 $\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x_0),\ \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(x_0),\ ...,\ \frac{\partial f_n}{\partial x_j}(x_0) \right)^T$，那么原等式等价于：
$$\mathbf{v} \cdot Df(x_0) = \mathbf{0}$$

接下来是关键逻辑：
因为已知 $Df(x_0)$ 可逆，所以它的转置 $(Df(x_0))^T$ 也可逆，而可逆矩阵的核心性质之一是：只有零向量与它相乘（无论左乘还是右乘）才会得到零向量。

我们给等式两边同时右乘 $Df(x_0)$ 的逆矩阵 $(Df(x_0))^{-1}$，就能得到：
$$\mathbf{v} \cdot Df(x_0) \cdot (Df(x_0))^{-1} = \mathbf{0} \cdot (Df(x_0))^{-1}$$
化简后就是 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$，也就是每个 $f_i(x_0)-y_i=0$。

关于你疑问的“x₀取0值”的问题 #

其实完全没有任何东西阻止x₀取0值！

可逆矩阵的“仅零向量映射到零向量”这个性质，只和矩阵本身是否可逆有关，和这个矩阵对应的点x₀是不是0没有半毛钱关系。哪怕x₀就是0，只要$Df(0)$可逆（也就是雅可比行列式在0点非零），上面的推导依然完全成立。

举个一维的简单例子：假设n=1，原等式变成 $-2(f(x_0)-y_1)f'(x_0)=0$，只要$f'(x_0)≠0$（不管x₀是0还是其他数），就必然能推出$f(x_0)-y_1=0$，这和x₀的具体取值毫无冲突。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1691278