关于ℚ̂中非零等价类满足符号有界代表柯西序列的证明问询

首先，我们从定义出发拆解问题：

• ℚ̂是有理数域上柯西序列模零序列等价类的商集，每个元素是柯西序列的等价类，两个序列等价当且仅当它们的差是零序列（最终趋于0的序列）。
• A≠P（P是零序列的等价类），意味着A中的任意代表序列{aₙ}都不是零序列。

第一步：写出“非零序列”的逻辑否定 #

零序列的定义是：对任意ε>0，存在N∈ℕ，当n>N时|aₙ|<ε。
它的否定就是：存在某个ε₀>0，使得对任意N∈ℕ，总能找到n>N，满足|aₙ|≥ε₀。这是我们证明的核心起点。

第二步：利用柯西序列的性质缩小范围 #

因为{aₙ}是柯西序列，根据柯西序列的定义：对任意ε>0，存在M∈ℕ，当m,n>M时，|aₘ - aₙ|<ε。
我们取ε=ε₀/2，那么存在对应的M，使得所有n>M的项，彼此之间的距离都小于ε₀/2。

结合第一步的结论：存在某个k>M，满足|aₖ|≥ε₀。现在分两种情况讨论：

1. 如果aₖ≥ε₀：
   对任意n>M，有|aₙ - aₖ|<ε₀/2，因此：
   aₙ = aₖ + (aₙ - aₖ) ≥ aₖ - |aₙ - aₖ| ≥ ε₀ - ε₀/2 = ε₀/2
   即所有n>M的项都大于c=ε₀/2>0。
2. 如果aₖ≤-ε₀：
   同理，对任意n>M，有：
   aₙ = aₖ + (aₙ - aₖ) ≤ aₖ + |aₙ - aₖ| ≤ -ε₀ + ε₀/2 = -ε₀/2
   即所有n>M的项都小于-c=ε₀/2>0。

第三步：调整序列使其对所有n满足条件 #

上面的结论只覆盖了n>M的项，我们需要让整个序列的所有项都满足条件。由于修改柯西序列的有限项得到的新序列与原序列等价（因为两者的差是有限非零项，后面全为0，属于零序列），我们可以构造新的代表序列{aₙ'}：

• 若aₖ≥ε₀：对n≤M，令aₙ'=c+1（只要大于c即可）；对n>M，令aₙ'=aₙ。
• 若aₖ≤-ε₀：对n≤M，令aₙ'=-(c+1)（只要小于-c即可）；对n>M，令aₙ'=aₙ。

这样{aₙ'}属于等价类A，并且对所有n∈ℕ，要么aₙ'>c，要么aₙ'<-c，其中c=ε₀/2>0，完全满足题目的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kat