满足特定Hessian性质的二元函数在非负域内是否为联合凸函数？

咱们先把问题拆解清楚：要判断这个二元函数在定义域$x\geq0, y\geq0$内是不是联合凸函数，核心是用二阶可微凸函数的判定规则——在凸定义域上，二阶可微函数是联合凸函数的充要条件是它的Hessian矩阵在定义域内处处半正定。

首先，先明确二元函数$f(x,y)$的Hessian矩阵形式：

H = [[f_xx, f_xy],
     [f_xy, f_yy]]

接下来结合题目给的两个条件逐一分析：

• 第一个条件：$f_{xx}>0$。这是Hessian矩阵的第一个顺序主子式，直接满足半正定矩阵对顺序主子式的非负要求（而且是严格正，更强）。
• 第二个条件：Hessian矩阵的行列式为0，也就是$\det(H)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2=0$。咱们可以把这个式子变形一下，得到$f_{yy}=\frac{(f_{xy})}2}{f_{xx}}$。因为$f_{xx}>0$，平方项非负，所以$f_{yy}\geq0$，这就保证了Hessian的第二个对角线元素也是非负的。

对于2x2的对称矩阵来说，半正定的判定标准其实很简单：

• 所有对角线元素非负；
• 矩阵的行列式非负。

现在这两个要求咱们都满足了：$f_{xx}>0$、$f_{yy}\geq0$，行列式等于0（非负），所以这个Hessian矩阵是半正定的。

另外还要提一下定义域：$x\geq0, y\geq0$是第一象限，属于典型的凸集——任意两个在这个区域里的点，它们的连线也完全落在这个区域内，符合凸函数对定义域的要求。

举个实际的例子验证一下：比如$f(x,y)=(x+y)^{2$，它的Hessian矩阵是[[2,2],[2,2]]，满足$f_{xx}=2>0$，行列式$2*2-2}2=0$，而这个函数明显是联合凸函数，完全符合咱们的结论。

所以总结一下：这个函数在指定的定义域内是联合凸函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Frank Moses