是否存在连通、稠密全序且不可分的拓扑空间实例？

嘿，这个问题提得相当到位！答案是肯定存在这样的空间，最经典的例子就是广义长线（Generalized Long Line），下面我来一步步拆解它的构造和性质：

先回顾关键拓扑概念 #

首先你说得没错：连通的全序空间（赋予序拓扑）一定是线性连续统——也就是同时满足两个核心条件：

• 序稠密：任意两个不同点之间都能找到第三个点；
• 上确界性质：每个非空有上界的子集都存在上确界（也就是你提到的序完备性）。

而我们要找的就是满足这两个条件，同时没有可数稠密子集的空间。

广义长线的构造 #

广义长线的构造其实很直观：

1. 取第一个不可数序数$\omega_1$（简单来说，就是所有可数序数组成的集合，按常规的序数大小排序）；
2. 取单位半开区间$[0,1)$；
3. 构造集合$L = \omega_1 \times [0,1)$，给它赋予字典序：对于任意$(α, x), (β, y) \in L$，$(α, x) < (β, y)$当且仅当：
   • $α < β$（序数更小），或者
   • $α = β$且$x < y$（同一个序数对应的区间里，数值更小）；
4. 最后给$L$装备序拓扑（由所有开区间$(a,b)$生成的拓扑，其中$a,b \in L$且$a < b$）。

验证它满足所有要求 #

我们来逐一核对你提到的性质：

• 稠密全序：任意两个不同的点$(α,x)$和$(β,y)$，如果$α=β$，那$x≠y$，中间肯定有无数个点（比如$(α, (x+y)/2)$）；如果$α<β$，那$(α, (x+1)/2)$就落在两者之间，完全满足序稠密的要求。
• 连通性：作为字典序下的线性连续统，它满足上确界性质（$\omega_1$是良序集，$[0,1)$是线性连续统，组合后的字典序自然继承了上确界性质），而线性连续统在序拓扑下都是连通的，所以广义长线是连通空间。
• 不可分：假设存在一个可数的稠密子集$D \subseteq L$，那么对于每个序数$α \in \omega_1$，对应的“线段”${α} \times [0,1)$如果要被$D$“覆盖”（保证稠密），就至少需要$D$中的一个点。但$\omega_1$是不可数的，而$D$是可数的，必然存在某个序数$α_0$，使得${α_0} \times [0,1)$里没有$D$中的点。这时开区间$((α_0, 0), (α_0+1, 0))$就完全不包含$D$中的元素，这和$D$是稠密子集矛盾。所以广义长线确实不可分。

补充说明 #

除了广义长线，还可以构造基数更大的类似线性连续统，但广义长线是最具代表性、最容易理解的实例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528465