求给定乘积型函数的极限：对数转化后无法求解的技术问询

好的，咱们一步步来解决这个极限问题。你已经迈出了关键的第一步——对乘积取对数转化为求和，这是处理乘积型极限的常用技巧，很棒！不过别忘了，因为$l$是$n\to\infty$时的极限，所以正确的表达式应该是：

$$\log{l}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\sum_{j=1}^{n}\log{\Big(1+\frac{2j-1}{2n}\Big)}$$

接下来我们要把这个求和式和定积分的黎曼和联系起来，这是解决这类离散求和极限的核心思路。

先观察求和里的项：$\frac{2j-1}{2n}$其实是区间$[0,1]$上被分成$n$个等长小区间后，第$j$个小区间$\left[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right]$的中点。比如当$j=1$时，中点是$\frac{1}{2n}$；$j=n$时，中点是$\frac{2n-1}{2n}$，刚好覆盖了整个$[0,1]$区间的所有中点。

我们把求和式做个变形：
$$\frac{1}{2n}\sum_{j=1}^{n}\log{\Big(1+\frac{2j-1}{2n}\Big)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\log{\Big(1+\frac{2j-1}{2n}\Big)}$$

这里的$\frac{1}{n}$就是每个小区间的长度$\Delta x$，而$\frac{2j-1}{2n}$就是中点$x_j$。根据黎曼和的定义，当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n f(x_j)$就收敛到定积分$\int_0^1 f(x)dx$，这里$f(x)=\log(1+x)$。

所以现在我们可以把极限转化为定积分：
$$\log{l} = \frac{1}{2}\int_0^1 \log(1+x)dx$$

接下来计算这个定积分，用分部积分法：
设$u=\log(1+x)$，$dv=dx$，则$du=\frac{1}{1+x}dx$，$v=x$。根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$：
$$\int \log(1+x)dx = x\log(1+x) - \int \frac{x}{1+x}dx$$

对后面的积分化简：
$$\int \frac{x}{1+x}dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)dx = x - \log(1+x) + C$$

所以原积分的结果是：
$$x\log(1+x) - (x - \log(1+x)) + C = (x+1)\log(1+x) - x + C$$

代入上下限$0$到$1$：

• 当$x=1$时，$(1+1)\log2 - 1 = 2\log2 - 1$
• 当$x=0$时，$(0+1)\log1 - 0 = 0$

所以积分值为$2\log2 - 1$，代入$\log l$的表达式：
$$\log{l} = \frac{1}{2}(2\log2 - 1) = \log2 - \frac{1}{2}$$

最后两边取指数，得到：
$$l = e^{\log2 - \frac{1}{2}} = \frac{e^{\log2}}{e{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{e}}$$

这样就得到了最终的极限结果啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user466946