域上矩阵乘法同态函数的取值特性求证及推导疑问

嘿，我来帮你梳理清楚这个证明的逻辑，先从你的推导思路说起～

你的推导思路分析 #

你的方向是对的，但结论里说“若$D(I)\neq0$会产生矛盾”是搞错啦！其实反过来：假设存在某个矩阵$A$使得$D(A)\neq0$，那么根据函数的乘法性质$D(AB)=D(A)D(B)$，我们可以取$B=I$（单位矩阵），得到：
$$D(A) = D(A \cdot I) = D(A)D(I)$$
因为$D(A)\neq0$，而$F$是域，域中的非零元素都有乘法逆元，所以我们可以在等式两边同时乘以$D(A)$的逆元，直接得到$1 = D(I)$——这完全是合理的推导，没有矛盾，反而能直接推出$D(I)=1$。

完整的前半部分证明 #

我们可以分穷尽的两种情况来证明：

• 情况1：对所有矩阵$A$，$D(A)=0$
  这种情况显然满足条件$D(AB)=0=0\cdot0=D(A)D(B)$，无需额外证明。

• 情况2：存在至少一个矩阵$A$，使得$D(A)\neq0$
  正如你刚才的推导，利用$D(A)=D(A\cdot I)=D(A)D(I)$，结合$D(A)\neq0$（域中可做逆运算），两边消去$D(A)$，就能得到$D(I)=1$。

这两种情况覆盖了所有可能：要么函数值全为0，要么至少有一个非零值，此时必然有$D(I)=1$。

补充：可逆矩阵的非零性证明（你提到已理解，这里再快速过一遍） #

当$D(I)=1$时，若$A$是可逆矩阵，那么存在$A^{-1}$使得$A\cdot A^{-1}=I$。根据乘法性质：
$$D(A)D(A^{-1}) = D(A\cdot A^{-1}) = D(I) = 1$$
如果$D(A)=0$，那么左边就是$0\cdot D(A^{-1})=0$，但右边是1，这显然矛盾，因此$D(A)\neq0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Annalena