关于Donald Cohn《测度论》第二版中$\mathscr{L}^{\infty}$定义的疑似错误问询

先搭个基础框架：我们拿一个测度空间$(X,\mathscr{A},\mu)$来讨论。

你可能知道，通常$\mathscr{L}^\infty$空间指的是本性有界可测函数的等价类集合，但在Donald L. Cohn的《测度论》第二版第92页，他的定义有点不一样——他直接把$\mathscr{L}^{\infty}(X,\mathscr{A},\mu,\mathbb{R})$定义成所有$X$上的有界实值$\mathscr{A}$-可测函数的集合，而非本性有界函数集。

书中原文是这么写的：

设$\mathscr{L}^{\infty}(X,\mathscr{A},\mu,\mathbb{R})$为所有$X$上的有界实值$\mathscr{A}$-可测函数的集合……

这里补充个关键点：如果$X$是$\mu$-有限空间的话，Cohn的这个定义和常规的本性有界版本其实是等价的。毕竟在有限测度空间里，几乎处处有界的函数和整体有界的函数，只相差一个零测集上的取值，放到等价类里看是一回事儿。不过Cohn特意用“有界”而非“本性有界”来表述，算是这本书里值得留意的一个细节。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者OgvRubin