能否用点积表达指定旋转轴上扭矩矢量的大小？

嘿，这个问题问到点子上了——毕竟叉积计算起来确实有点麻烦，要是能靠点积搞定扭矩大小，确实能简化不少操作😎。咱们分两种场景来聊：

1. 求扭矩矢量本身的大小 #

你已经知道扭矩矢量$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$，而根据矢量代数里的拉格朗日恒等式，叉积的模长平方可以用点积来展开：

|τ|² = |r × F|² = |r|²|F|² - (r · F)²

如果把模长也用点积表示（毕竟$|\boldsymbol{v}|² = \boldsymbol{v}·\boldsymbol{v}$），那这个式子可以完全用点积写出来：

|τ| = √[(r·r)(F·F) - (r·F)²]

这样就完全不用计算叉积，直接靠位置矢量$\boldsymbol{r}$和作用力矢量$\boldsymbol{F}$的点积就能算出扭矩的大小了。

2. 求扭矩在某指定旋转轴上的分量大小 #

如果你的需求是扭矩在某个单位旋转轴矢量$\boldsymbol{\hat{e}}$上的分量大小（也就是$|\boldsymbol{\tau}·\boldsymbol{\hat{e}}|$），这里可以用到混合积的性质：

τ · ê = (r × F) · ê

而混合积的平方可以用三个矢量的Gram矩阵行列式来表示（因为$\boldsymbol{\hat{e}}$是单位矢量，$\boldsymbol{\hat{e}}·\boldsymbol{\hat{e}}=1$，所以式子会更简洁一点）：

|τ · ê|² = det([
    [r·r, r·F, r·ê],
    [F·r, F·F, F·ê],
    [ê·r, ê·F, 1]
])

把这个行列式展开后，所有项也都是两两矢量的点积，所以同样不用计算叉积就能得到这个分量的大小。

举个简单例子验证一下：假设$\boldsymbol{r}=(1,0,0)$，$\boldsymbol{F}=(0,1,0)$，$\boldsymbol{\hat{e}}=(0,0,1)$。用第一种方法算$|\boldsymbol{\tau}|=√[(11)(11)-(0)^2]=1$，和叉积结果一致；第二种方法算$|\boldsymbol{\tau}·\boldsymbol{\hat{e}}|=√(\text{det}([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]))=1$，也完全正确。

所以总结下来，不管是求扭矩本身的大小，还是求它在某轴上的分量大小，都有纯靠点积的表达方式，不用先算叉积再取模~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GSofer