咨询：投掷10个不同骰子得和为25的方式数解法正确性及优化

你的生成函数构造完全正确！这是解决这类离散计数问题的经典思路，接下来我们可以通过化简生成函数，结合二项式定理来高效计算目标系数，避免直接展开高次多项式的繁琐操作：

步骤1：化简生成函数 #

首先将初始生成函数变形：
$$g(x) = (x+x^2+x3+x^4+x5+x⁶⁾{10} = x^{10} \cdot \left( \frac{1-x^6}{1-x} \right)^{10} = x^{10} \cdot (1-x⁶⁾{10} \cdot (1-x)^{-10}$$
我们需要的是$g(x)$中$x^{{25}$的系数，等价于求$(1-x}6)^{10} \cdot (1-x)^{-10}$中$x{15}$的系数（因为$x^{10} \times x^{15} = x^{25}$）。

步骤2：展开两个多项式项 #

利用二项式定理分别展开两个部分：

• 对于$(1-x⁶⁾{10}$，展开式为：
  $$(1-x⁶⁾{10} = \sum_{k=0}^{10} (-1)^k \binom{10}{k} x^{6k}$$
  由于$6k \leq 15$，所以k仅需取0、1、2三个值（k≥3时$6k≥18>15$，对目标系数无贡献）。
• 对于负二项式$(1-x)^{-10}$，其展开式为：
  $$(1-x)^{-10} = \sum_{m=0}^{\infty} \binom{m+9}{9} x^m$$
  这个式子的核心是“可重复组合”的计数公式，刚好对应每个骰子点数的累加情况。

步骤3：计算目标系数 #

我们需要找到所有满足$6k + m =15$的项，将对应系数相乘后求和：

• 当k=0时，m=15：系数为$(-1)^0 \binom{10}{0} \cdot \binom{15+9}{9} = \binom{24}{9} = 1307504$
• 当k=1时，m=9：系数为$(-1)^1 \binom{10}{1} \cdot \binom{9+9}{9} = -10 \times \binom{18}{9} = -10 \times 48620 = -486200$
• 当k=2时，m=3：系数为$(-1)^2 \binom{10}{2} \cdot \binom{3+9}{9} = 45 \times \binom{12}{9} = 45 \times 220 = 9900$

将这些结果相加：
$$1307504 - 486200 + 9900 = 831204$$

结论 #

你的生成函数思路没问题，通过上述化简计算，最终得到的方式数为831204。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user123