有界随机游走：醉酒者归家概率求解及无限转移矩阵处理思路问询

假设我们把醉酒者的位置建模为一维整数点：设初始位置为0，家的位置为10（到家即终止，是吸收态），其他位置n（n < 10）都是瞬时状态，每一步有1/2概率向右走1米（到n+1），1/2概率向左走1米（到n-1）。我们的目标是求初始位置0时，最终到家的概率P(0)。

步骤1：定义状态概率与递推关系 #

令P(n)表示当前在位置n时，最终到达家（位置10）的概率。根据随机游走的规则，对于所有n ≠ 10，我们有递推式：

P(n) = (1/2) * P(n+1) + (1/2) * P(n-1)

这是一个二阶线性齐次递推方程，对应的特征方程为：

r² - 2r + 1 = 0

解得二重根r=1，因此递推式的通解为：

P(n) = A + B*n

其中A和B是待确定的常数。

步骤2：应用边界条件 #

首先，到家时的概率显然为1，即：

P(10) = 1

代入通解可得：

1 = A + 10*B  --- (1)

接下来需要第二个条件来确定A和B。这里要考虑状态n趋向负无穷时的行为：概率P(n)必须是有界的（取值范围在0到1之间，不可能趋向正无穷或负无穷）。如果B≠0，当n→-∞时，P(n)=A+B*n会趋向负无穷（若B<0）或正无穷（若B>0），这显然不符合概率的定义。因此必须有：

B = 0

将B=0代入式(1)，可得A=1。因此所有位置n≤10的概率都是：

P(n) = 1

结论 #

对于对称一维随机游走（每步左右概率各1/2），当仅存在右侧一个吸收壁（家的位置），左侧无界时，从任意初始位置出发，最终到达吸收壁的概率都是1。也就是说，这个醉酒者最终到家的概率是1。

为什么不需要处理无限转移矩阵？ #

无限转移矩阵的对角化确实复杂，但我们可以通过分析状态概率的递推关系，结合概率的有界性约束，绕过无限矩阵的直接计算。这种方法是处理无限状态马尔可夫链的常用技巧——利用递推方程和边界/极限条件求解，而不是直接操作无限维度的矩阵。

如果是不对称随机游走（比如向右概率p≠1/2），递推式的通解会是P(n)=A+B*(q/p)^n（q=1-p），此时结合P(10)=1和n→-∞时P(n)有界的约束可以解出对应概率，但本题是对称情况，所以结果为1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aleksejs Fomins