能否在不局域化的前提下将全局对称性规范？

首先得明确：规范对称性的核心定义是仅属于系统描述冗余的对称性——换句话说，这种变换不会改变物理态，只是换了一种数学方式描述同一个东西。通常我们接触到的规范对称性都是局域的，毕竟通过引入协变导数和规范场，确实能把全局对称性“升级”成局域规范对称性，但你问的反过来：能不能把全局对称性变成全局的规范对称性？咱们拿你提到的薛定谔方程的全局$U(1)$相位对称性来拆解这个问题。

先理清楚两个关键概念的区别：

• 普通的全局$U(1)$对称性（比如薛定谔方程里$\psi \to e^{i\theta}\psi$的相位变换），我们通常称之为物理对称性：变换后的波函数对应一个不同的量子态，但这个态和原态的所有物理性质完全一致——能量、概率分布、测量结果统计都没区别，所以哈密顿量在这个变换下不变，还能导出电荷守恒。
• 而规范对称性的本质是描述冗余：变换前后的“不同”波函数，其实对应同一个物理态，只是我们用了不同的数学标记而已。

那回到问题：能不能把全局对称性转化为全局规范对称性？其实得分情况看：

• 第一种情况，像量子力学里的全局相位变换：其实你完全可以把它重新诠释为全局规范对称性。因为量子力学里的物理态本来就是希尔伯特空间里的射线（也就是相差全局相位的波函数等价类），而不是单纯的矢量。从这个角度看，$\psi \to e^{i\theta}\psi$的变换根本没改变物理态，只是同一个态的不同写法——这就是全局规范对称性。那为什么平时我们说它是全局对称性？因为有时候我们会把波函数矢量当作“态”来讨论，这时候变换就成了物理对称性，但这只是诠释角度的不同。
• 第二种情况，比如全局平移对称性、全局旋转对称性这类：就没法这么做。因为平移后的态和原态是可区分的——比如你测量粒子位置，平移前后的结果肯定不一样，这说明它们是不同的物理态，不是描述冗余。这类全局对称性对应物理系统的真实对称性，没法被“降级”成规范对称性，因为规范对称性要求变换不改变任何物理内容。

说白了，能不能转化的核心在于：这个全局对称性对应的变换，是否只是同一物理态的不同描述？如果是（比如量子相位），那就能当作全局规范对称性；如果不是（比如平移），就不行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者knzhou